傅有明
(三明学院信息工程学院,福建 三明 365004)
(1)
注意到hi(A)易通过(1)式计算.用矩阵语言可表述为
h(A)=|D|(|D|-|L|)-1|U|e=|D|(I-(|D|-|L|)-1A)e,
具体参考文献[1].
定义1[2]设A=(aij)∈Cn×n,n≥2,是非零对角元矩阵.如果对于每个i∈N,
|aii|>hi(A)i∈N
(2)
成立,那么称A为Nekrasov矩阵.
Kolotilina[1]指出,条件(2)等价于|D|e>|D|(|D|-|L|)-1|U|e,或者是Z-矩阵(|D|-|L|)-1A=I-(|D|-|L|)-1|U|的严格对角占优的条件.
(3)
Johnson利用Gersgorin定理证明了[4]
(4)
并对严格对角占优矩阵给出了进一步的下界[5]
(5)
和
(6)
Wang等[6]给出了严格对角占优矩阵最小奇异值的下界
(7)
笔者将给出Nekrasov矩阵的最小奇异值的一个下界,并基于这个下界给出H-矩阵的最小奇异值的下界.
证明注意到AA-1=I,则由A=|D|-|L|-|U|可知,
(|D|-|L|)(I-(|D|-|L|)-1|U|)A-1=I.
(I-(|D|-|L|)-1|U|)bi=(|D|-|L|)-1ei,
(8)
记C∶=(I-(|D|-|L|)-1|U|),那么(8)式等价于
Cbi=yi.
(9)
从而
因此
证毕.
为了获得Nekrasov矩阵最小奇异值的下界,记
定理1假设A=(aij)∈Rn×n是Nekrasov矩阵,则有
σn(A)≥α(A).
(10)
因为严格对角占优矩阵也是Nekrasov矩阵,所以Nekrasov矩阵的最小奇异值σn(A)的下界也能应用到H-矩阵.
定理2设A=(aij)∈Cn×n,是H-矩阵,且存在一个正对角矩阵D使得B=AD=∶(bij)为严格对角占优矩阵,则有
(11)
由定理1和引理 3易知(11)式成立.
考虑如下矩阵:
这些矩阵的最小奇异值的下界列于表1.
表1 矩阵的最小奇异值的下界
表1中 “—” 表示公式不可用.由表1可知,由(10)式计算的界对矩阵A1~A6都是最好的.