用一般观念引领平行四边形复习的整体教学

蒋智慧

【摘要】用一般观念引领复习教学是一种以研究为主线的整体性教学策略，该教学策略旨在帮助学生用整体的视角构建知识体系，发现知识间的本质联系，理清知识的脉络.学生在经历知识发生发展的过程中感悟数学思想方法，掌握一般性的研究方法，并能在不同的情境中，用类似的方法解决不同的问题.以中考总复习中平行四边形的复习教学为例，以研究为主线，在整体视角下创新教学设计，发展学生的数学核心素养，能收获良好的教学效果.

【关键词】平行四边形复习;整体教学;一般观念

初中阶段对于几何的学习以平面图形为主，包括相交线与平行线、三角形、平行四边形以及圆等.这些内容分布在初中学习的不同阶段，并且在编排上体现了循序渐进的原则，做到了由易到难，由简到繁.这样的安排可以有效降低学生的学习难度，帮助学生逐步掌握几何的相关内容，完善知识体系，符合学生的认知规律.但面对庞大的几何学体系和繁多的几何学内容，如何做到有效复习一直是广大一线教师思考的问题.整体视野下的复习教学旨在梳理分散的知识，构建知识体系，形成知识网络，让学生认识到知识间的本质联系，掌握思想方法，提升核心素养.下面对平行四边形复习的整体教学做详细阐述.

一、从整体视角解析平行四边形的复习内容

从整体的视角解析教学内容，可以帮助学生理清知识发生发展的过程，搞清知识的来龙去脉，并且在知识体系的建构中，领悟思想方法，掌握几何研究的一般方法.从而有助于提高学生的思维品质，发展学生的核心素养，真正实现数学育人的价值.解析内容可以从以下四个方面入手：

1.地位作用

平行四边形是特殊的四边形，是继三角形后所要研究的一类重要几何图形.通过平行四边形边、角的特殊化，得到了矩形、菱形以及正方形等特殊的平行四边形.对于这些几何图形的概念、性质以及判定的学习有助于学生掌握几何研究的一般思路与方法，发展学生逻辑推理能力与问题解决能力，从而为后续圆、相似等几何内容的学习做铺垫.

2.思想方法

平行四边形的研究思路、内容和方法与三角形的研究一脉相承，又可以迁移到圆以及相似的研究中.在平行四边形的复习中，学生经历知识发生发展的过程，经历了从整体视角对知识的整合与构建，感悟几何研究中所蕴含的思想方法：（1）在知识体系的构建中采用一般到特殊的思想方法;（2）在性质定理的研究过程中，通过观察和想象发现结论，利用归纳法推广到一般，提出猜想，用演绎推理进行论证;（3）在判定定理的研究过程中，通过性质定理的逆命题提出判定，利用演绎推理证明判定;（4）在几何问题的解决过程中体验化归思想，感受图形的相互转化以及化繁为简，化未知为已知的数学思想方法.

3.能力发展

平行四边形丰富的复习内容中，蕴含了梳理知识框架所需要的数学抽象素养以及在问题的推算中所需要的逻辑推理素养和问题解决能力.所以在平行四边形的复习中，要关注知识的整理与问题的解决，着重发展数学抽象素養和逻辑推理素养.

4.教学重点

通过对教学内容的解析，可以确定平行四边形的教学重点是：从整体角度梳理平行四边形的知识结构体系，能根据问题情境选择适当的知识进行推理运算，从而有效解决问题.

二、整合课程目标，明确复习教学目标

课程目标是确定课时目标的依据，教学时要善于利用课程目标的导向性作用，通过整合课程目标寻找切实有效的课时目标，从而提高教学的有效性和准确性.

平行四边形新授课时的课程目标为：（1）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系;了解四边形的不稳定性.（2）探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理.（3）了解平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.（4）探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理.（5）探索并证明三角形的中位线定理.

在复习时，将课程目标进行适当整合，转化为可以用来导教、导学、导测评的课时目标.平行四边形一章整合后的目标如下：

1.教学目标

（1）进一步理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及其相互关系.

（2）掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定.

（3）会把各种平行四边形的相关知识进行结构化整理.

2.目标解析

目标（1）要求学生能准确说出各种平行四边形之间的区别与联系，并能画出关系图.

目标（2）要求学生能完整说出各种平行四边形的性质与判定，并能理解性质与判定的关系.学生能根据问题情境选择适当的知识进行推理运算从而解决问题，并能把知识迁移到新的情境中.

目标（3）要求学生能独立叙述平行四边形的相关知识，并梳理成适当的知识结构体系.

三、明晰学情，诊断剖析教学问题

学情是教学策略选择和教学活动设计的落脚点，教师要善于分析和把握学情，立足于学情开展教学活动.在新授课时，除了个别学生外，大多数学生对于所要学习的内容缺乏学习经验，所以对于新知的理解水平相对较为一致.但在复习教学中，学生对已有内容的掌握存在较大的差异，这种情况下，教师对于学生学情的把握就显得尤为重要！只有准确把握学情，根据学生的实际情况开展教学，才能提高复习的准确性和有效性.下面从以下三个方面分析学情.

1.学生已有的学习基础

此时，学生已经拥有了平行线和三角形的学习经验，初步掌握了几何学习的一般路径与研究方法.此外，学生也具备一定的逻辑推理能力与问题解决能力.

2.教学中存在的困难

由于学生独立整理知识的经验不多，抽象概括的能力有限，所以在知识结构化的整理时还存在一定的困难，需要教师引导指点.平行四边形中的内容丰富，知识间的联系比较紧密.因此，学生在理解时容易混淆，而在应用知识解决问题时，也容易出现条件错用、多用或少用等问题.

3.教学难点

在平行四边形的复习中教学难点是：知识体系的结构化和知识的选择性应用.

四、教学策略：在一般观念下整体设计平行四边形的复习过程

1.以数学研究为主线，整体回顾三角形的学习路径

问题1：在平行四边形之前，同学们已经具备了三角形的学习经验，大家还记得我们学习了三角形的哪些内容吗？

追问1：对于三角形这么多的内容，我们是按照怎样的思路进行研究的呢？

追问2：在研究三角形的过程中，我们用到了哪些方法？

追问3：在三角形的研究过程中，体现了哪些数学思想？

師生活动：教师引导学生回顾并梳理三角形有关的内容得到如下的知识结构图（如图1所示）：

2.用几何研究的一般观念引领学生进行平行四边形的知识整理

问题2：类比三角形的研究，请说说平行四边形的研究思路、研究内容、研究方法.

师生活动：教师引导学生说出平行四边形的研究思路、研究内容、研究方法.

研究思路：定义—性质—判定—特例.

研究内容：平行四边形边、角和对角线的位置关系和大小关系.

研究方法：（1）在知识体系的构建中采用一般到特殊的思想方法;（2）在性质定理的研究过程中，通过观察和想象发现结论，利用归纳法推广到一般，提出猜想，用演绎推理进行论证;（3）在判定定理的研究过程中，通过性质定理的逆命题提出判定，利用演绎推理证明判定;（4）在几何问题的解决过程中体验化归思想，感受图形的相互转化以及化繁为简，化未知为已知的数学思想方法.

问题3：各种平行四边形都有哪些性质与判定？

追问1：我们利用平行四边形研究了三角形中位线定理，利用矩形研究了直角三角形的斜边中线定理，请说说三角形中位线定理和直角三角形的斜边中线定理.

追问2：平行四边形的性质反映了平行四边形哪种对称性质？矩形、菱形和正方形性质又反映了哪种对称性质？

师生活动：教师引导学生回顾平行四边形的核心内容，即性质与判定.

问题4：请同学们类比三角形的知识梳理过程，画出平行四边形的知识结构图.

师生活动：教师引导学生整理出平行四边形知识结构图（如图2所示）：

学生整理知识结构的过程，是从整体的角度内化知识的过程，也是对知识进行追本溯源的过程.这有助于学生形成几何研究的一般观念，从而提升思维品质，发展核心素养.

3.通过问题的解决，让学生感受化归思想，发展学生的逻辑推理能力

例 如图3所示，正方形ABCD的边长为12，点P为对角线AC上的一个动点，过点P作PE⊥AD于点E，PF⊥CD于点F.

（1）判断四边形PEDF的形状;

（2）求四边形PEDF的周长;

（3）求四边形PEDF对角线EF的最小值.

巩固训练 如图4所示，将矩形EPFD（PF>PE）折叠，使点F刚好落在线段ED上，设折叠后点F，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边PF，ED相交于点M、点N.

（1）判断四边形GMFN的形状;

（2）若PE=3，PF=9，求线段MF的取值范围.

平行四边形是常见的几何图形，既有丰富的性质，又具有广泛的应用性.如何根据需要选择适当的知识解决问题是教学的重难点.教学中，教师要引导学生明确问题中的条件与结论，灵活运用综合法与分析法进行推理论证，培养学生言之有理、步步有据的习惯，发展学生的逻辑推理能力，提升学生的核心素养.另外，在解题过程中，让学生感受化归思想，体会各种几何图形间的相互转化，学会化繁为简，化未知为已知，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.

五、结束语

整体性教学并非将各部分知识机械性地整合，而是理清各部分知识与整体的关系，寻找各部分知识之间的本质联系与逻辑规律.

教师要以整体的视角看待教材中的各部分内容，寻找知识间的内在联系，理清知识脉络，挖掘知识中蕴含的数学思想方法，构建知识体系.教学时，教师要以一般观念引领学生，让学生经历知识发生发展的过程，体会数学思想，感悟研究方法，并且当问题情境发生变化，知识发生迁移时，仍能够依据已有的学习经验，用类似的方法解决不同的问题.这样的教学才能让学生真正学会学习，学会研究，真正实现学生素养的提高，彰显数学育人的价值！

【参考文献】

[1]吴增生.科学用脑 高效复习[M].杭州：浙江科学技术出版社，2018：103-104.

[2]李玲娅.用一般观念引领整式及其运算的整体教学[J].中国数学教育·初中版，2019（Z3）：12-15.