寓教于乐润物无声

张启明 徐承杰 汤琼 肖海青 刘东南

【摘要】课程思政是指充分挖掘课程中的思想政治教育元素，在向学生传授教材知识的同时进行德育方面的培养.课堂是课程思政实施的主要阵地.线性代数在大学数学教学体系中占有非常重要的地位，具有学习人数多，学习主体年龄偏小的特点，但由于其理论性强且抽象难懂，教学中兼顾“知识传授”和“价值引领”实非易事.本文立足線性代数内容，从数学史的嵌入、数学美的发现、数学应用的广泛性及数学哲学思想的体现四个维度例谈如何在线性代数教学中实施课程思政，给学生带来愉快的学习体验，提高学习效果，同时引导学生创造健康、智慧的人生.

【关键词】线性代数;课程思政;知识传授;价值引领

立德树人是大学教育之本！德育元素应遍布在大学校园的每一个角落，其中课堂是实施课程思政的主要阵地.课程思政的主要使命为充分挖掘各类课程中的思想政治教育元素，发挥所有教师、课程和教育的育人功能，形成全员、全方位、全过程育人的教学体系.[1]线性代数是大学数学类公共基础课，受众面非常广，是所有理工农医及经管等学科门类相关专业学生的必修课，一般在大学低年级开设.大一、大二学段正是学生世界观、人生观和价值观形成的关键时期，而树立正确的“三观”是课程思政教育的首要任务.每一门自然科学的知识都反映着人类从受制于自然到掌握自然的科学精神;反映着人类对世界认识较少、较浅到较多、较深的探索精神;每一个科学发现都反映着不盲从权威的创新精神;反映着特定专业满足人类需求的不可替代的责任.[2]因而，教师在线性代数教学中进行“知识传授”的同时兼顾“价值引领”是当仁不让的使命.但由于线性代数内容抽象难懂，且教学课时少，在课堂实施思政教育实非易事.下面从数学史的嵌入、数学美的发现、数学应用的广泛性及数学哲学思想的体现等维度例谈课程思政在线性代数教学中的实施.

一、线性代数之深邃

线性代数作为代数学的分支，其历史久远，始于解线性方程组，中国古算书《九章算术》中就曾较为全面地讨论过线性方程组的解法.对线性方程组的深入研究，行列式和矩阵概念的产生以及物理理论、数学分析与几何应用上的需要等因素，都有力地推动了线性代数学科的形成和发展.

案例1：

（1）在学习行列式和矩阵的概念以及矩阵的初等变换等知识点时，教师可介绍日本数学家关孝和，因为他通过钻研中国数学后在其著作《解伏题之法》中创造出了行列式.而中国古代数学家提出矩阵的运算及相应规则和应用则比西方19世纪矩阵论的形成要早近2 000年.

（2）在学习线性方程组相关知识时，教师可介绍记载于公元1世纪的《九章算术》，该书第八章专门论述如何解线性方程组，是世界上最早介绍线性方程组解法的文献资料.而在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程组的解法法则.

数学史即研究数学的历史，是一门研究数学科学发展及其规律的科学.不管是远古时代的数学萌芽，还是近现代数学的飞速发展，数学史源远流长.“假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等这许多历史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得多，对数学的现状就会知道得更清楚、深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知道数学究竟应该按照怎样的方向发展可以收到最大的收益.”[3]全视角学习理论认为，所有的学习都是“情境性”的，即它是在一定的情境中发生的.[4]这说明，在讲授抽象深邃的线性代数知识的过程中，插入数学史背景进行情境教学，在激发学生学习期望的同时教会学生去“明理、哲思、求真”，拓宽国际视野并增强民族自豪感和文化自信心、培养家国情怀.

二、线性代数之美妙

数学因满足社会需求而产生和发展，数学科学作为理性思维和想象的结合体，其本质力量的感性与理性的显现就形成了数学的美.数学美丰富多样，常见的有和谐美、统一美、简洁美、对称美、语言美、创新美等.牛顿曾说：数学家不但更容易接受漂亮结果、不喜欢丑陋结论，而且他们也非常推崇优美与雅致的证明、不喜欢笨拙与反复的推理.线性代数记号繁多，但有规可循;内容抽象，但逻辑性强;公式庞多，但深邃奇妙.线性代数之美主要表现为简洁美、对称美、语言表达美等.

案例2：线性代数中概念很多，学习特殊的行列式和特殊的矩阵时，例如：

教师可从数学审美的角度启发学生去发现这些概念用数学语言表达时所体现的对称美、简洁美、符号美.

又比如，行列式ab…bba…bbb…a，其元素的排列很有规律：所有元素的分布关于主对角线对称，且主对角线上元素相同，都为a;主对角线以外的元素都为b.我们形象地称这个行列式为“林荫小道型”行列式.此行列式的计算为经典题型，非常重要，可一题多解，还可衍生出很多变式.

此案例的实施可教会学生去发现美，在培养学生良好审美情操的同时，激发学生的学习兴趣，加深其对知识的理解和领悟，以美育来促进学生德育和智育的全面发展.

三、线性代数之大用

线性代数是近代数学的基础，许多纯粹数学和应用数学的问题通常可转化为线性代数问题来解决.同时，它也是理论物理、理论化学、计量经济与生物科学等基础学科中不可或缺的数学工具.在工程技术等实际问题中，许多数学问题也都是转化为数量间的线性关系来解决.尤其是在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、经济学、网络技术等领域都是与线性代数息息相关的.

案例3：

（1）学习矩阵的乘法时，教师可简单介绍5G网络技术.5G网络技术即第五代移动通信网络技术，其技术基础是极化码.极化码看起来很复杂，但本质上还是一些矩阵的乘法，教师可举例说明.同时，教师还可简要介绍人工智能技术以及民营企业之星“华为”的故事.

（2）学习特征值与特征向量的概念时，教师可介绍美国华盛顿塔科马海峡吊桥垮塌的故事.一方面，由于桥面厚度不足，被风一吹，哪怕是微风，都会产生振动.当桥上产生了共振，振幅达到一定程度就造成桥梁的垮塌.这次事件成为研究空气动力学卡门涡街引起建筑物共振破坏力的活教材，也被记载为20世纪最严重的工程设计错误之一.另一方面，通过大桥垮塌的分析从数学的角度阐明有振动的地方必有特征值这一事实，说明特征值是一个非常重要的数学概念.并且，以此事件作为特征值与特征向量的教学导入也是新颖独特的.

此案例理论联系实际，可大大激发学生的学习动机，培养学生的职业前瞻感和民族自豪感，并让学生明白科学严谨的态度在学习、工作和生活中都是不可或缺的.

四、线性代数之睿智

恩格斯曾指出：“数学是辩证的辅助工具和表现方式.”[5]数学除了自身所包含的知識和思想方法外，还体现了丰富的唯物辩证法内涵.事实上，数学与哲学几乎同时诞生于遥远的古希腊，共同构成了那个时代的文明和骄傲，它们在历史上有着千丝万缕的联系.张景中院士曾著有《数学与哲学》一书，阐释了数学与哲学是对立统一的关系.线性代数中也蕴含着丰富的哲学思想.

案例4：

（1）“变”与“不变”的问题

线性代数中有很多不变量，例如：①行列式进行恒等变形时，行列式的值保持不变;②向量组进行初等变换时，向量组的秩及向量组的线性表示关系保持不变;③二次型化为标准形时，二次型的正、负定性保持不变.

矩阵的初等变换是解决线性代数问题的关键方法，它是线性代数中一条多变的链条，充满着多样性和奇异性，将整个线性代数的内容贯穿起来.例如：①解决矩阵自身相关的问题，包括第二章中求矩阵的秩、矩阵的逆矩阵、解矩阵方程，第五章中求方阵的特征值和特征向量等;②解决其他相关问题，包括第三章中求向量组的秩、第四章中求线性方程组的通解、第六章中化二次型为标准形等.

（2）从“量变”到“质变”的问题

线性代数中，许多研究对象都有与其密切相关的量，当这些量发生改变时，就会引起相应的量发生质的改变.例如：①n阶方阵A的秩R（A）≤n.当R（A）

（3）“特殊”与“一般”的关系

线性代数中体现“特殊”与“一般”的情形很多.例如，二阶、三阶行列式与n阶行列式的关系;数乘矩阵与矩阵的运算的关系;向量空间的标准正交基与其一般的基的关系;齐次线性方程组与非齐次线性方程组的关系;线性方程组的特解与通解的关系;二次型及其标准形的关系;矩阵、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形之间的关系等.

（4）否定之否定规律

向量组线性相关性的讨论是线性代数学习的重点和难点内容，有关向量组线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念以及它们的区别和联系、向量组线性相关性的相关判定定理都充分体现了否定之否定的辩证规律.例如：①向量组的线性组合是指形如k1α1+k2α2+…+knαn的形式，其中α1，α2，…，αn为向量组，k1，k2，…，kn为任意一组实数.对任意一组实数k1，k2，…，kn，k1α1+k2α2+…+knαn都是向量组α1，α2，…，αn的一个线性组合.说明向量组α1，α2，…，αn的线性组合不唯一，有任意多个.②向量组的线性表示是指存在一组实数k1，k2，…，kn，使得β=k1α1+k2α2+…+knαn，则称向量β能用向量组α1，α2，…，αn线性表示，也称向量β是向量组α1，α2，…，αn线性组合，其中β，α1，α2，…，αn均为向量.这时，实数k1，k2，…，kn可能不唯一.③向量组线性相关是指如果存在一组不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关.而若对任意不全为零的实数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn≠0，则称向量组α1，α2，…，αn线性无关.

④若向量组的部分向量组线性相关，则该向量组线性相关.其逆否命题为：若向量组线性无关，则其任一部分向量组线性无关.

此案例的实施通过对知识的梳理和比较，既可引导学生高屋建瓴从全局去掌握线性代数中的相关内容，也可教会学生用辩证唯物主义思想去分析和思考问题，培养理性精神和批判精神，并将哲学思维迁移到学生的学习、工作和生活中，帮助学生正确看待和处理身边的一切事物，形成正确的人生观、价值观，以创造智慧、健康的人生.

结 语

德育是人才培养的永恒话题！思政元素宛如课堂教学设计各环节中一些零散的珍珠，而教师就是拾掇者！在线性代数教学中，教师在围绕“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”这一根本问题进行课程思政教育时，需充分挖掘教学内容中显性和隐性的育人元素，适时适地对学生进行巧妙的德育培养，努力让更多耀眼的珍珠成为促使学生德育和智育全面发展的催化剂，真正实现教育的“知识传授”与“价值引领”两重功能.

【参考文献】

[1]刘鹤，石瑛，金祥雷.课程思政建设的理性内涵与实施路径[J].中国大学教学，2019（3）：59-62.

[2]王秋.课程思政的思与行[J].黑龙江教育·理论与实践，2019（6）：9-10.

[3]李文林.古为今用的典范——吴文俊教授的中国数学史研究[J].北京教育学院学报， 2001（2）：1-5.

[4]克努兹·伊列雷斯.我们如何学习——全视角学习理论[M].孙玫璐，译.北京：教育科学出版社，2019：102.

[5]李秀林，王于，李淮春.辩证唯物主义和历史唯物主义原理[M].北京：中国人民大学出版社，1982.