打造线性代数金课的探索与实践

陈荣三 马晴霞

【摘要】线性代数是我国高等院校理工类和经管类各专业的一门必修的公共基础课程.在“金课”背景下，笔者根据金课标准和金课建设目标，结合线性代数的多年教学实践，对线性代数在打造金课过程中的探索和实践进行了总结，旨在探索创新线性代数的教学模式，进一步提高线性代数的教学质量，为新工科背景下的高质量人才的培养打下坚实的基础.

【关键词】线性代数; 金课; 教学研究

2008年6月，教育部陈宝生部长在“新时代全国高等学校本科教育工作会”上首次提出了“金课”这一重要概念，后来“金课”被成功写入教育部文件.2018年11月，教育部高等教育司司長吴岩在第十一届“中国大学教学论坛”上做了 “建设中国金课”的报告，在报告中提出了金课的标准.金课标准为高阶性、创新性、挑战度，简称“两性一度”.所谓高阶性就是将知识、能力和素质三者有机地结合起来，旨在培养学生处理复杂问题的高级思维能力和综合能力.相对于“金课”而言， “水课”具有低阶性、陈旧性和不用心的特点.吴岩司长在报告中明确提出了建设五大“金课”的目标，即线下“金课”、线上“金课”、线上线下混合式“金课”、虚拟仿真“金课”和社会实践“金课”.报告中吴岩司长强调要调动社会各方面的积极性，为中国“金课”的建设提供政策保障、机制保障、组织保障、经费保障和评价保障.

线性代数是我国高等院校理工类和经管类各专业的一门必修的公共基础课程，线性代数的教学质量和教学效果直接与工科院校的人才培养息息相关.线性代数的教学内容主要包括行列式、矩阵、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型和线性空间与线性变换.线性代数的教学目标是通过该课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识和基本理论，掌握必要的数学运算技能和利用数学软件进行线性代数计算的能力.这些基本知识、理论以及计算能力对于学生日后的科学研究和实际工作尤为重要.笔者根据金课标准和金课建设目标，结合线性代数的教学内容和教学目标，对打造线性代数金课进行了探索和实践.

一、线上教学和线下教学两种模式

根据不同专业实行分层次教学，将线性代数分成A，B，C三个层次，分别对应56学时、40学时和32学时.线性代数A的教学目标为：通过该课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识和基本理论，掌握必要的数学运算技能和利用数学软件进行线性代数计算的能力.同时培养和提高学生运用数学方法分析和解决问题的能力，为学生后续其他课程的学习打下坚实的基础，进一步拓宽学生的知识面，为学生以后的科学研究和工作提供一些基本的数学知识和计算方法.线性代数B和C的教学目标为：线性代数是工科及相关学科学生的一门必修基础课，在工程技术等领域有着广泛的应用，也是后续课程必备的数学基础.教师不仅需要传授线性代数的基本知识，还需要在教学过程中培养学生各方面的能力，比如抽象概括能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力、自主学习能力以及创新能力.线性代数B和C讲授内容只相差一个二次型，线性代数B需要讲授二次型，而线性代数C 不需要讲授二次型.线性代数A采用中国地质大学出版社出版的教材，线性代数B和C采用同济版教材.

从时间上来分，授课课程可以分成授课前、授课中和授课后;从空间上来分，授课课程可以分成线上授课、线下授课;从学习的角度来分，授课课程可以分成授课前预习、授课过程中的学习和授课后的复习.打造线性代数金课必须将线上和线下有机地结合起来.线上以学生自主学习为主，难度较大的内容以团队集体协作学习为辅.线下课堂教学，目的在于激发学生的潜力.爱课程“中国大学MOOC”、超星、智慧树等网络教学平台是目前比较成熟的线上教学平台，操作容易，适合各个年龄段的老师.每次上课前，在网上发布本次课程的学习资料，要求学生对这些教学资源进行自主学习，使学生通过自主学习掌握本次课程的基本内容，为线下课堂教学做好充分准备.教师根据线上网络学习平台学生的学习情况制定线下课堂的教学内容，上课前收集学生反馈的信息，汇总凝练出学生的难点，从而精心准备教学内容.线下课堂教学分成两部分：第一部分是疑难解析，针对课前线上预习的难点，逐个讲解，和学生互动，做到基本知识无死角;第二部分采用研讨式教学法，首先将学生分成若干个讨论小组，教师事先设置好若干个引导性问题，按照课堂学习进度逐步向学生提出问题，学生通过小组内的讨论和小组之间的讨论来巩固线上学习的知识.课堂以启发和引导为主，这样不仅可以增长学生的知识、开阔学生的视野，提高学生的综合能力，还有利于建立密切的师生关系，促进教学相长.研讨式教学法重在教师的“导”，需要教师设置的问题有一定现实价值，贴近学生的生活，能激发出学生学习的兴趣，这就要求教师对所讲授的知识有全面和深刻的理解，对学生所具备的基本知识和能力有所了解，而且老师必须熟悉现代化的教学工具和教学手段.研讨式教学法同时注重学生学习的自主性，学生要从“要我学”转变成“我要学”，课前必须做好充分的准备，包括查资料、师生间和同学间的交流学习.教师收集的资源需要全面和充分，这样有利于师生双方节约时间.将以前教师单方面的知识传授转变成师生互动讨论学习，教师需要引导学生敢于表达自己的看法，鼓励学生都参与到研讨中去，使得研讨式教学既有广度又有深度.下课后，不同的学生对知识的掌握程度是不一样的，需要通过课后线上教学进一步加强和巩固.教师需要对课堂研讨式教学的内容做详细的总结，对重点、难点做进一步讲解，必要时做成视频，方便学生回顾复习，同时教师需要布置作业和练习，让学生熟练掌握所学知识点.超星学习通、QQ和微信是学生和教师常用的沟通工具，对于学生反映的问题，教师可以及时答疑，真正实现线下线上有机结合.

二、教学内容和专业的融合

根据学生专业的不同，制定和专业相关的教学内容，采用案例教学法，每章都设置实际案例，实现教学内容和专业的融合.案例教学法起源于19世纪20年代，由美国哈佛法学院前院长克里斯托弗·哥伦布·朗代尔提出.案例教学法于20世纪80年代引入我国.案例教学法就是以案例为基础，利用一些典型的案例引导学生进入特定事件的场景并学会分析问题，旨在发现其中的规律并将其反馈给实践，最终达到理论指导实践的教学目的.下面笔者通过几个案例来说明线性代数和其他专业的融合.

1.线性代数和计算数学的融合.

对于一个偏微分方程的定解问题，如果需要求数值解，不管是用有限体积法、有限差分法还是有限元法，最后都归结成一个线性方程组的求解问题.我们看下面的物理问题：长度为 1，侧表面绝热的均匀细杆，初始温度已知，细杆两端的温度已知，求杆内部的温度分布函数u（x，t）.该物理问题可以归结成如下一维热传导问题的定解问题：

用有限差分法来求解该问题，h表示空间步长，τ表示时间步长，（xi，tk）表示网格节点，用uki表示温度分布函数u（x，t）在点（xi，tk）处的网格函数，相当于u（x，t）在该点的近似值.关于时间的一阶偏导数用中心差商近似，关于空间的二阶偏导数用中心差商近似，可以得到如下Crank-Nicolson差分格式：

2.线性代数和管理会计专业的融合

化妆品配制问题：某化妆品制作工厂用原材料A，B，C，D按照不同的配比制作成五种适合不同年龄人群使用的化妆品，编号为 1—5，具体原料配比如下：

1）问题分析

我们首先分析1号化妆品的配制问题，2号化妆品进行类似讨论.要配制出1号化妆品，只需要讨论3，4，5号化妆品能否按照某种比例混合后，满足1号化妆品对四种原料的配比要求.在表中求出了五种化妆品的列和（即单位总数）， 我们假设要配制133个单位的1号化妆品，能否由 3，4，5号化妆品混合而成？

2）模型假设

假设原材料是可分的.

3）符号说明

我们规定五种化妆品在表中显示的原料配比的列和（单位总量）为一份产品， 设配制1份133个单位的1号化妆品需要3，4，5号化妆品x1份、x2份、x3份.

从而将原材料配制的问题转化为非齐次线性方程组是否有解问题.

三、结论

线性代数是我国高等院校理工类和经管类各专业的一门必修的公共基础课程，在“金课”背景下，打造线性代数金课的探索与实践任重而道远.本文对线上教学和线下教学两种模式以及教学内容和专业的融合进行了总结，旨在探索创新线性代数的教学模式，进一步提高线性代数的教学质量，为新工科背景下的高质量人才的培养打下坚实的基础.

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