利用不等式来处理的几类函数问题

◇ 山东 郝云静

不等式是中学数学的重点内容之一,不等式具有变通灵活、应用广泛、知识综合等特点,它可以渗透到中学数学很多章节的内容中,又是学习高等数学的基础和重要工具,所以它一直是各级各类考试中考查的重点和热点.下面就结合实例剖析利用不等式知识来处理的几类常见的函数问题.

1 求解函数的定义域与值域

在求解函数的定义域与值域时,往往需结合函数中相应式子所满足的条件,建立对应的不等式(组)来分析与求解.

分析定义域的实质是使函数有意义的x 的取值范围,而求值域要在定义域的前提下考虑函数式的取值情况.

解要使函数有意义,则5＋4x－x2≥0,即(x＋1)(x－5)≤0,解得－1≤x≤5,故函数的定义域为[－1,5].

2 求解函数的最值问题

函数的最值是函数在定义域内对应的函数值中的最大值和最小值.在求解函数的最值问题时,往往通过基本不等式来达到求解最值的目的.

分析从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,直接利用基本不等式求最值不易求得答案.事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.

解令t＝x2＋1,则t≥1,且x2＝t－1,因为而t≥1,所以,当且仅当t＝, 即t＝1时,等号成立.

综上,当x＝0时,函数取得最小值3.

3 求解函数的参数范围

在求解函数的参数范围时,往往根据题目条件,通过函数的根与系数的关系、判别式等建立相应的不等式(组)来求解相应的参数问题.

分析题中没有说明给定函数为二次函数,故应分别讨论函数为“一次函数”或“二次函数”这两种情况,再根据函数与不等式、方程的关系等,求解不等式(组).

解当k2＋4k－5＝0时,解得k＝－5或1,若k＝－5,则y＝24x＋3,对任意实数x,函数值不恒大于0；若k＝1,则y＝3,对任意实数x,函数值恒大于0.

当k2＋4k－5≠0时,由于y＝(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3对于任意的实数x 函数值恒大于0,则有即

解得1＜k＜19.

综上,实数k 的取值范围为[1,19).