浅谈二元多次多项式的因式分解

范海浪

【摘要】多项式的因式分解是初中数学一个非常重要的内容，但是很多教材都已经弱化甚至删减了，一些很重要的方法更是被淡化了.然而因式分解又是高中数学运算中很常用的工具之一，所以本文列举了二元多次多项式（也就是含xnym项）的因式分解，并介绍了其中重要的几种方法：分组分解法、降幂排列法，十字相乘法.

【关键词】因式分解;分组分解法;降幂排列法;十字相乘法

因式分解的很多方法在现有的教材都已经被删除了，但是因式分解又是高中数学计算的重要工具之一，因此，学好因式分解是非常重要的.因式分解的方法多种多样，这里介绍关于含xnym项的多项式的因式分解.方法主要有：分组分解法;降幂排列法;十字相乘法，重点介绍十字相乘法的妙用.下面举例说明：

例1 分解因式：x2-5xy-6y2.

解 直接用十字相乘法.

x2-5xy-6y2

xx

-6yy

原式=（x-6y）（x+y）.

例2 分解因式：x2-2xy+y2-x+y-6.

解 （方法一）先用公式法，再用十字相乘法.

分析：x2-2xy+y2可以用完全平方差公式化为（x-y）2，然后再用十字相乘法.

原式=（x-y）2-（x-y）-6

x-yx-y

-32

=（x-y-3）（x-y+2）

（方法二）先用降幂排列法再用十字相乘法.

分析：先按照x的降幂排列各项，再将y2+y-6用十字相乘法化简为（y+3）（y-2），最后整体再用十字相乘法.

原式=x2-（2y+1）x+y2+y-6

=x2-（2y+1）x+（y+3）（y-2）

xx

-（y+3）-（y-2）

=（x-y-3）（x-y+2）.

例3 分解因式：6x2-xy-2y2+4x-5y-2.

解 （方法一）先用降幂排列法再用十字相乘法.

原式=6x2-（y-4）x-（2y2+5y+2）

=6x2-（y-4）x-（2y+1）（y+2）

3x2x

-（2y+1）y+2

=（3x-2y-1）（2x+y+2）.

（方法二）用两次十字相乘法.

分析：先将6x2-xy-2y2用十字相乘法化简为（2x+y）（3x-2y），再对整体用十字相乘法.

原式=（2x+y）（3x-2y）+（4x-5y）-2

3x-2y2x+y

-12

=（3x-2y-1）（2x+y+2）.

例4 分解因式：x3-2x2y-xy2+2y3.

解 （方法一）分組分解法.

分析：将一、二项组合，三、四项组合.

原式=（x3-2x2y）-（xy2-2y3）

=x2（x-2y）-y2（x-2y）

=（x2-y2）（x-2y）

=（x-y）（x+y）（x-2y）.

说明：还可以一、三项组合，二、四项组合或一、四项组合，二、三项组合.

（方法二）十字相乘法.

分析：整体观察可以用十字相乘法.

原式=x3-（2x2y+xy2）+2y3

x2x

-y2-2y

=（x2-y2）（x-2y）

=（x+y）（x-y）（x-2y）.

笔者认为为了增强学生的计算能力，应该加强因式分解的学习.对含xnym的项的多项式用十字相乘法是非常快捷、简便的.

【参考文献】

[1]曹冬.利用“降幂排列法”分解因式[J].初中数学教与学，2005（8）：41

[2]周晶.“十字相乘法”在因式分解中的妙用[J].初中数学教与学，2015（5）：13-14.