复变函数论中的解析函数教学探析

李晓焱

【摘要】在针对复变函数展开研究的过程中，较为关键的内容之一就是解析函数，其具备较为关键的性质且应用范围较为广泛.因此，在学习复变函数论的过程中，一定要针对解析函数的概念与性质展开全面了解.基于此，在本篇文章中先阐明了如何理解解析函数的定义与判别，进而针对复变函数论中的解析函数教学展开全面分析，旨在为相关人员提供参考依据.

【关键词】复变函数论;解析函数教学;研究

【基金项目】双解析函数与解析函数一些问题的研究与应用（2016CXY-12）.

在计算机、电子等专业课程中复变函数是必修课之一，主要是由高等数学发展而来，如今其已经逐渐变成高等数学的延续.其实复变函数和实变函数这两者较为相似，但却有着很多不同之处，这样在学习时就会认为复变函数的内容会更加抽象，而且复变函数的教学时间远比高等数学的教学时间短，这就会导致学生无法充分学习复变函数的相关知识.而在复变函数中，较为关键的内容就是针对解析函数展开研究，因此，在学习复变函数的过程中，一定要针对其中的解析函数教学展开全面探析.

一、理解解析函数的定义与判别

复变函数属于一种定义一类复数集合到另一类复数集合的映射关系，而解析函数则是定义在某一复数领域中处处可微的复变函数.复变函数无论在某一点解析或某一复数集合内解析，都可以针对某一个区域内处处可微.因此，复变函数可微并不等价于函数解析，除非是在特定的区域内，但是从基础上而言，复变函数与实变函数之间的可微性具备较大的区别.解析函数所对应的两个二元实变函数属于一个非独立体，而在实际应用这类定义或定理的过程中，部分学生会将对复变函数定义的记忆转变为定理，这时在实际运用的过程中就会出现较大的偏差，最终就会影响到实际解题的准确性，而这时教师就需要教授学生多种复变函数解题的定义与定理，并确保学生可以灵活运用这类定义与定理，从根本上确保学生可以灵活运用不同的方式判别函数的解析性，这也是研究解析函数的主要基础[1].

二、解析函数的微分性质与积分性质

（一）解析函数的微分性质

一个解析函数不仅具备一阶导数，同时其还包含了各个高阶导数，这一特点与实变函数的特点之间存在着较大的不同之处.解析函数高阶导数存在的证明，不能完全通过简单的定义与定理来获取，而是通过解析函数的积分性质来推算出解析函数的高阶导数.通过解析函数的无穷次可微性可以进一步了解到二元函数u（x，y），v（x，y），这样一来就可以更加有效地了解到解析函数的性质与特殊关系.u（x，y），v（x，y）所有一次偏导数会处处可微并且可以充分满足柯西-黎曼方程，这时就可以得知u（x，y），v（x，y）之间均可以变化为调和函数.诸如此类，就可以在实际教学的过程中了解到更多关于u（x，y），v（x，y）的高阶偏导数性质.而在理解解析函数的过程中可以充分运用解析函数具备高阶导数的特点，这样就可以得到更多的解题结论，例如，刘维尔定理、积分均值定理、代数学基本定理等.由此可见，解析函数具备着特殊的性质，同时其也可以成为解决诸多问题的有效方式，而在实际应用解析函数的过程中，可以充分激发出学生对学习函数知识的兴趣与探索动力，这样一来就可以有效提高函数知识在学生解题过程中的运用效率，最终为学生的学习以及学生的未来发展起到良好的推动作用.

三、解析函数的级数性质与保角性

（一）解析函数的级数性质

当复变函数处在某个圆域或圆环之内处处解析时，这时就需要该函数在圆域或圆环内的任意一点函数值，可以写成以圆环为中心的级数形式.由于函数不同的解析性，相对应的级数形式主要包括泰勒级数与洛朗级数.在实际教学的过程中需要学生可以精准确定函数展开所对应的中心点，同时还需要确保学生对圆域或圆环有着全面的了解，并且使学生知道函数所在确定的圆域或圆环内可以实现处处解析.与此同时，在实际教学的过程中，需要确保学生可以掌握部分基本解析函数之间的级数形式，并且可以将这些级数形式套用在解决函数问题中.此外，在实际教学的过程中教师需要充分向学生教授如何收敛级数的部分基本性质，以便可以确保学生在面对这类函数问题时，可以将所学的基本性质套用在问题中.级数在函数中占据着极为重要的位置，是函数的主要因素，所以学生在掌握与理解这类内容之后，对其掌握解析函数而言有着极为重要的意义.

（二）解析函数的保角性

复变函数从几何的角度而言，可以将其解释为两个复平面内中点数交集之间的变换，而通过解析函数所形成的变换性质也较为重要，例如，保角性.保角性：当函数在某一点解析时，通过该点的任意两条曲线内的夹角，在其通过函数映射之后可以保持方向与大小不会发生变化.其在解决流体力学、弹性力学、电力学等学科内的实际问题时，属于一种可以使问题简化的有效方式.对理科学生而言，教师可以在教学的过程中让学生自己预习这方面的知识点，而后在实际教学的过程中可以通过学生提问、教师解答的方式，来实现让学生全面掌握这类知识的目的，最终为学生全面掌握并灵活运用这类知识提供良好的基础保障[2].

四、结束语

综上所述，在学生针对复变函数展开学习时，最为关键的一部分就在于，如何能夠使其深入了解解析函数，因此，在针对复变函数展开实际教学时，如果针对解析函数的应用与性质展开全面讲解的话，不仅可以加深学生对复变函数的印象，还可以加强学生对解析函数的认知，最终为学生灵活运用解析函数定理提供良好的基础保障.

【参考文献】

[1]张琼芬，封全喜，宋奇庆.信息与计算科学专业复变函数课程教学改革探索[J].教育教学论坛，2017（13）：91-92.

[2]李春龙，宝音特古斯.关于复变函数论教育教学改革的探讨[J].内蒙古民族大学学报（自然蒙古文版），2017（2）：38-40.