三元函数的三次极限与混合极限

毛一波

【摘要】结合重极限和累次极限，给出了三元函数的混合极限概念，探讨了混合极限与三次极限的区别与联系.研究表明，三元函数的混合极限与三次极限之间没有必然关系，但在一定条件下二者也存在着联系.

【关键词】三元函数;三次极限;混合极限.

【基金项目】重庆文理学院科研项目（三元函数的三重极限、三次极限与混合极限[Y2018SC34]重庆文理学院教改项目《数学分析》课程五位一体建设[190212]）资助.

由于自变量个数的增多，多变量函数相较于单变量函数来说，其极限有许多差异[1-3].如多变量函数不能研究单侧极限，也没有通过单调性来判断多变量函数极限的方法，出现这种现象的主要原因在于其动点变化的路径是任意的.此外，多变量函数的极限呈现出多样性特点，如重极限与累次极限.现行的国内数学分析教材或高等数学教材在讲解多变量函数极限时常以二元函数为例来介绍[4]，但当函数自变量的个数多于两个时，多变量函数相对二元函数来讲，其极限更为復杂.对三元函数u=f（x，y，z）来说，在考虑其极限时存在以下可能：先固定变量x，y，对变量z求极限后得到的极限函数 limz→z0f（x，y，z）=φ（x，y）为二元函数.此时φ（x，y）作为二元函数来讲，既可以考虑二重极限 lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y），也可以考虑二次极限 limy→y0 limx→x0φ（x，y），从而出现了累次极限与重极限的混合情形，即混合极限 lim（x，y）→（x0，y0） limz→z0f（x，y，z）.

在现有的文献中，极少有文献提出多变量函数的混合极限概念，混合极限与三次极限的关系也鲜有研究.从前面的分析可以理解，这种混合极限的提法是合理的，在一定条件下混合极限是可以存在的.如果把单变量函数的极限理解为是一重极限的话，那么三元函数的混合极限则可以理解为先进行一重极限再进行二重极限，或者先进行二重极限再进行一重极限.基于此，三元函数的混合极限及其与三次极限之间的区别和联系是值得研究的课题.

一、三元函数的混合极限

定义1 设f（x，y，z）为定义在DR3上的三元函数，D在xOy面上的投影为Dxy，在z轴上的投影为Dz，即

Dxy={（x，y）|（x，y，z）∈D}，

Dz={z|（x，y，z）∈D}.

（x0，y0）和z0分别是Dxy和Dz的聚点.若对每一个（x，y）∈Dxy（（x，y）≠（x0，y0）），存在极限 limz→z0f（x，y，z），记为φ（x，y）=limz→z0f（x，y，z）.若还存在极限L=lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y），则称该极限L为函数先对z（→z0），后对x，y（→（x0，y0））的混合极限，记为L=lim（x，y）→（x0，y0） limz→z0f（x，y，z）.

类似地，也可以定义先进行二重极限，再进行一重极限的混合极限：limz→z0 lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y，z）.根据极限顺序的不同，三元函数的混合极限共有两大类顺序：先一（重极限）后二（重极限）、先二（重极限）后一（重极限）.比如，lim（x，z）→（x0，z0） limy→y0f（x，y，z），limy→y0 lim（x，z）→（x0，z0）f（x，y，z）等情形.

二、三次极限与混合极限的区别

下面的例子表明，三次极限与混合极限之间是存在着区别的.

例1 混合极限存在，但三次极限不存在的情形.

设f（x，y，z）=zsin1x2+y2+xsin1y，则

lim（x，y）→（0，0） limz→0f（x，y，z）=0，而 limz→0 limy→0 limz→0f（x，y，z）不存在.

事实上，当（x，y）≠（0，0）时，limz→0zsin1x2+y2=0，所以 limz→0f（x，y，z）=xsin1y，再由xsin1y≤|x|≤|x2+y2|，知lim（x，y）→（0，0）xsin1y=0，所以lim（x，y）→（0，0） limz→0f（x，y，z）=0.

而当x≠0时，limy→0xsin1y不存在，从而 limx→0 limy→0 limz→0f（x，y，z）不存在.

例2 三次极限存在，但混合极限不存在.

设f（x，y，z）=x2-y2x2+y2·sinzz，则当（x，y）≠（0，0）时，

limz→0x2-y2x2+y2·sinzz=x2-y2x2+y2.

当动点（x，y）沿直线y=kx趋于原点（0，0）时，lim（x，y）→（0，0）y=kxx2-y2x2+y2=1-k21+k2与k有关，

所以二重极限 lim（x，y）→（0，0）x2-y2x2+y2不存在，而

limx→0 limy→0x2-y2x2+y2=1， limy→0 limx→0x2-y2x2+y2=-1都存在，

从而 limx→0 limy→0 limz→0f（x，y，z）=1， limy→0limx→0 limz→0f（x，y，z）=-1都存在，但 lim（x，y）→（0，0） limz→0f（x，y，z）不存在.

三、三重极限与混合极限的联系

例2表明，三元函数的某两个三次极限不等时，其混合极限不存在.这种情况是否具有普遍性呢？下述结论表明混合极限与三次极限在一定条件下存在着联系.

定理1 若函数f（x，y，z）在点P0（x0，y0，z0）处存在混合极限 lim（x，y）→（x0，y0） limz→z0f（x，y，z）与三次极限 limx→x0 limy→y0 limz→z0f（x，y，z），则它们必相等.

证明 由定理条件，可设 limz→z0f（x，y，z）=φ（x，y），于是二重极限 lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y）和二次极限 limx→x0 limy→y0φ（x，y）都存在，由文献[1]知， lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y）=limx→x0 limy→y0φ（x，y），即

lim（x，y）→（x0，y0）limz→z0f（x，y，z）=limx→x0 limy→y0 limz→z0f（x，y，z）.

注1 定理1中，三次極限和混合极限在先求的一重极限是针对同一个变量进行的，如果不是同一个变量，则结论将不一定成立.

例3 设f（x，y，z）=x2-z2x2+z2·x2+y21+x2+y2-1，则

lim（x，y）→（0，0）limz→0f（x，y，z）=lim（x，y）→（0，0）x2+y21+x2+y2-1=2，

limz→0limy→0limx→0f（x，y，z）=-limz→0limy→0y21+y2-1=-2，

从而lim（x，y）→（0，0）limz→0f（x，y，z）和limz→0limy→0limx→0f（x，y，z）都存在，但并不相等.

由定理1可得到如下推论：

推论1 若函数f（x，y，z）在点P0（x0，y0，z0）处存在混合极限limz→z0lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y，z）与三次极限limz→z0 limx→x0 limy→y0f（x，y，z），则它们必相等.

推论2 若三元函数f（x，y，z）的三次极限

limx→x0 limy→y0 limz→z0f（x，y，z），limy→y0 limx→x0 limz→z0f（x，y，z）和混合极限 lim（x，y）→（x0，y0） limz→z0f（x，y，z）都存在，则三者必然相等.

推论3 若三元函数f（x，y，z）的三次极限

limx→x0 limy→y0 limz→z0f（x，y，z）和limy→y0 limx→x0 limz→z0f（x，y，z）都存在但不相等，则混合极限lim（x，y）→（x0，y0） limz→z0f（x，y，z）必定不存在.

注2 推论3可以用来证明混合极限不存在.但要注意，由推论3的条件不能断定 limz→z0 lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y，z）是否存在.

四、结 论

多变量函数相对单变量函数来讲，其极限种类更加多样化、复杂化.类比二元函数的二次极限和二重极限，三元函数还可以引入混合极限.可以理解的是，如果函数的自变量个数越多，则混合极限的形式更多样化.以四元函数为例，其混合极限可以是先进行一重极限再进行三重极限，或者是先进行二重极限，再进行二重极限等情况，所有情形可以有54种之多，但是它们都可以用三元函数为例进行理解.鉴于此，三元函数的混合极限为完善多元函数极限理论具有极好的借鉴意义.

【参考文献】

[1]刘颖，陈逸藻.一类二重极限的存在性探讨[J].高等数学研究，2017（1）：19-22.

[2]韩加坤.多元函数极限相关问题研究[J].数学学习与研究，2017（3）：19-20.

[3]蔡俊亮.关于多元函数极限的一点注记[J].大学数学，2014（5）：102-105.

[4]华东师范大学数学系.数学分析（下册）：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010：104-107.

[5]复旦大学数学系.数学分析（下册）：第三版[M].北京：高等教育出版社，2007：150-152.

[6]同济大学数学系.高等数学（下册）：第六版[M].北京：高等教育出版社，2010：58-60.