分式线性映射与阿波罗尼奥斯圆族

李楚一

【摘要】本文探讨了上半平面映射为单位圆的分式线性映射，并从保形映射的角度导出阿波罗尼奥斯圆族的方程.以分式线性映射的保角性为依据，通过像曲线的几何关系研究原像的几何关系，进而得出施泰纳圆族的方程，并说明其几何意义.

【关键词】分式线性映射;阿波罗尼奥斯圓族;施泰纳圆族

一、引 言

分式线性映射作为一种简单的保形映射在复变函数中被详细地探讨，它具有保角性、保对称性[1]等优良的几何性质，可以让我们对一些几何问题有更深刻的理解.在扩充复平面中，将上半平面映射为单位圆的分式线性映射作为最基本的简单映射，本文将从这个映射出发，按照利用像曲线研究原像曲线的方法，研究两个圆族.

二、将任意圆映射为单位圆

文献[1]中，在介绍将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1的分式线性映射ω=eiθz-λz+λ时，指出该映射把上半平面内以λ，λ为对称点的圆周族映射为ω平面上以原点为圆心的圆周族|ω|=k.考查以λ，λ为对称点的圆族（特别地，将λ，λ的中垂线视为半径为∞的圆），可以发现实轴上侧的圆均被映射为单位圆内部的同心圆，下侧则被映射到单位圆外.自然，我们可以用类似于文献[1]的方法进一步考查，扩充复平面上的任意两点α，β，寻求将以α，β为对称点的任一圆映射为单位圆的分式线性映射.

定理 将以α，β为对称点的任一圆映射为以原点为圆心的圆的分式线性映射为：

ω=z0z-αz-β，其中z0为任一复数.

证 考查以α，β为对称点的圆族.存在这样的分式线性映射ω=f（x），它将α映射为原点，将β映射为∞，又由保圆性知圆族中任意的圆必被该映射映射为像平面上的圆，由保对称性知像圆以原点与∞为对称点，或者说以原点为圆心.因而，任何这样的f（x）都满足该定理要求，而它的一般形式很容易写出，即为ω=z0z-αz-β，z0可以随意取得，决定映射的伸缩与旋转.

在保形映射中我们往往只关注原像与像之间的集合变换，往往不必在意映射的具体对应关系，所以我们不妨令上式中的z0=1，这样就得到上述映射中形式较简洁的一个特例：

ω=z-αz-β.

三、阿波罗尼奥斯圆族

考查以α，β为对称点的圆族中的一个特殊情形，即α，β的中垂线（半径为∞的圆），研究它的像圆半径的情况.取该线上的一点α+β2，代入ω=z-αz-β，有：

|ω|=β-α2α-β2=1，

即该映射恰好将α，β的垂直平分线映射为单位圆.因而，我们得到，映射ω=z-αz-β将中垂线α侧的圆周映射到单位圆内部，将β侧的圆周映射到单位圆的外部.

这个映射（并且是保形映射）建立了以α，β为对称点的圆周集与以原点为圆心的同心圆的圆周集之间的和谐的一一对应，因而，任取|ω|=k，对应着以α，β为对称点的圆z-αz-β=k，这就说明了以α，β为对称点的圆的圆系方程可以表示为：

z-αz-β=k，

特别地，当k=1时，圆退化为一条直线.

这个式子有很直接的几何意义.我们不难看出，它表示平面上到两定点α，β的距离之比为定值的点的轨迹.这个结果不仅说明了该轨迹是圆，还说明了该圆以α，β为对称点.

到两定点距离之比为常数的点的轨迹曲线通常被称为阿波罗尼奥斯圆族.

四、结 论

从简单的将上半平面映射为单位圆的分式线性映射推广的映射ω=z-αz-β可以将性质复杂的曲线族映射为性质简单的曲线族，进而方便研究它们的几何特性.本文正是以这个思路为依据，从复平面的角度，研究了传统几何学中的阿波罗尼奥斯圆族的基本性质，同时回避了利用几何技巧的推演.

【参考文献】

[1]包革军，邢宇明，盖玉英.复变函数与积分变换[M].北京：科学出版社，2013.