用因式分解处理一类函数零点问题

云南省玉溪第一中学 李富春 653100

在导函数中，有一类函数零点（方程实根）问题，直接整体求导、分离参数、分离函数、局部分离函数，计算量都很大，甚至几乎不能求解.若用因式分解，将大大减少计算量，能快速求解，且是通法.下面举例说明.

例1 函数f(x)＝(x2-ax)ex-ax+a2（e为自然对数的底数，a∈R，a为常数）有三个不同零点，则a的取值范围是（ ）.

解析：令f(x)＝0，则(x2-ax)ex- ax+a2＝(x-a)(xex-a)＝0，故f(x)＝(x2-ax)ex-ax+a2有三个不同零点⇔x-a＝0或xex-a=0共有三个不等根⇔直线y＝a与y＝x和y＝xex的图象共有三个交点.

图1

在同一坐标系中，作出y＝x与y＝xex的图象，由直线y＝a与y＝x有一个交点，故直线y＝a与y＝xex有两个交点.

令g(x)＝xex，则g′(x)＝(x+1)ex，故g(x)在(-∞，-1]递减，在(-1，+∞)递增，且g(x)min=如图1，当时，直线y=a与y=xex有两个交点；当a＞0时，直线y＝a与y＝xex只有一个交点.因此a的取值范围为故选A.

评注：该题是通过因式分解、分离变量，转化为熟悉的基本函数y＝a与y＝x和y＝xex，运用数形结合的数学思想去求解问题，思路朴素、自然.

A.2 B.3 C.4 D.5

解析1：原方程变形为(x2-3)2-2ex-1⋅(x2-3)-3e2x-2＝0，分 解 因 式 得(x2-3-3ex-1)(x2-3+ex-1)＝0，则有x2-3-3ex-1＝0或x2-3+ex-1＝0，即x2-3＝3ex-1或x2-3＝-ex-，则原方程根的个数可转化为函数的图象与直线y＝-1和y＝3交点的个数.

图2

或x2-3+ex-1＝0，即x2-3＝3ex-1或x2-3＝-ex-1，即原方程根的个数可转化为函数F(x)＝x2-3的图象与函数g(x)=3ex-1和函数h(x)＝-ex-1的图象交点的个数，在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象，如图3所示，显然F(x)＝x2-3与h(x)＝-ex-1的图象有2个交点.

图3

当x≤0时，函数F(x)＝x2-3与g(x)＝3ex-1的图象有1个交点，当x＞0时，令函数，则，当0＜x＜3时，f′(x)＞0，当x＞3时，f′(x)＜0，所以当x＝3时，f(x)取最大值，且最大值为?，即，则即3ex-1＞x2-3，即当x＞0时，函数g(x)=3ex-1的图象都在函数F(x)＝x2-3图象的上方，即函数g(x)＝3ex-1的图象与F(x)＝x2-3的图象没有交点.所以原方程根的个数为3.选B.

评注：解析1思维导图：将原方程变形分解因式→(x2-3-3ex-1)(x2-3+ex-1)＝0→x2-3-3ex-1＝0或x2-3+ex-1＝0→转化为函数的图象与直线y＝-1和y＝3交点的个数→研究函数的单调性和极值→画出函数f(x)的大致图象→观察图象确定与直线y＝-1和直线y＝3交点的个数→原方程根的个数.

解析2思维导图：将原方程变形分解 因 式→(x2-3-3ex-1)(x2-3+ex-1)＝0→x2-3＝3ex-1或x2-3＝-ex-1→转化为函数F(x)＝x2-3的图象与函数g(x)＝3ex-1和函数h(x)＝-ex-1的图象交点的个数→在同一平面直角坐标系中画出三个函数图象→观察函数图象及函数特征确定交点的个数→原方程根的个数.

例3（2013年高考安徽卷理科数学第10题）若函数f(x)＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同实根个数是（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:把f(x)看成一个未知数，利用求根公式因式分解，由3(f(x))2+2af(x)+b＝0,得

于是，关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数⇔关于x的方程f(x)=的不同实根个数⇔常数函数与函数f(x)＝x3+ax2+bx+c的图象的不同交点个数.

依题意，得x1，x2是关于x的方程3x2+2ax+b＝0的两个不同实根，所以x1，x2＝此时函数f(x)＝x3+ax2+bx+c的模拟图象如图4.这时常数函数和与函数f(x)＝x3+ax2+bx+c的图象的不同交点个数是3⇔关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同实根个数是3.当x1＞x2时，此 时 函 数f(x)＝x3+ax2+bx+c的模拟图象如图5.这时常数函数与函数f(x)＝x3+ax2+bx+c的图象的不同交点个数是3⇔关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同实根个数是3.

图4

图5

综上，选A.

评注:（1）此题的姊妹题是2013年高考安徽卷文科数学第10题：若函数f(x)＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同实根个数是().

A.3

B.4

C.5

D.6

（2）此类题型的解法，笔者在各种数学资料中见到的与上述解法都不一样，笔者认为上述解法容易被学生接受.

例4（2009年高考福建卷理科数学第10题）函数f(x)＝ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，m，n，p，关于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p＝0的解集不可能是（ ）

A.{1，2} B.{1，4}

C.{1，2，3，4} D.{1，4，16，64}

解析：把f(x)看成一个未知数，利用求根公式因式分解，由m(f(x))2+nf(x)+p＝0，得＝0，所以.从而，关于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p=0的不同实数根个数⇔关于x的方程f(x)=的不同实数根个数⇔常数函数与函数f(x)＝ax2+bx+c的图象的不同交点个数，如图6.

图6

因为函数f(x)＝ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线对称，所以一元二次方程ax2+bx+c＝0的解关于直线对称.据此可推测，关于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p＝0的解仅关于一条直线对称，即对称轴有且只有一条.假若方程的解集是{1，4，16，64}，则如1与64关于直线对称，4与16关于直线x＝10对称，于是选项D不可能是方程的解集，故选D.

评注:若把关于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p＝0中的f(x)用ax2+bx+c来替换，然后去判断其方程的根的可能情况，这样一来，不仅运算量繁、大，甚至解答不了.解题时，有路可走，走了以后发现不好走，要立即停下来考虑是否继续往下走？

上述题型源于2005年高考上海卷理科数学第16题：设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的方程(f(x))2+bf(x)+c＝0有7个不同实数的充要条件是（ ）

A.b＜0且c＞0 B.b＞0且c＜0

C.b＜0且c＝0 D.b≥0且c＝0

此类题是2005年高考上海卷涌现出的新题型，是当年的难题，时隔15年，回过头去看看，也仍然不简单.笔者查阅了大量的资料，发现给出的解答非常繁琐，十分抽象，学生很难接受.为了能让同学们有点滴启示和收获，下面笔者给让此题的简解通法.

图7

评注（:1）在此题中b2-4c≠0为什么？留给读者考虑（.2）根据此题的题设，可求出关于x的方程(f(x))2+bf(x)+c＝0的7个不同的实数解，也可求出这7个不同实数解之和是多少，怎么求？留给读者去思考.

由上述几例的解答，我们可以总结出：已知函数f(x)的解析式，关于x的方程a(f(x))2+bf(x)+c＝0(a,b,c∈R,且a≠0)有几个实数根，求实数a,b,c的取值范围或求方程的实根.解决此类问题的简捷通法是，先利用导函数画出或直接画出函数f(x)的模拟或大致图象，然后把f(x)看成一个未知数，利用求根公式因式分解，由a(f(x))2+bf(x)+c＝0,得＝0，所以，最后把问题转化为函数图象的交点问题，即考虑常数函数和与已知函数f(x)的图象的交点情况.

新课程理念下，注重解题的通性通法，反对过分技巧化的训练.用上述方法解决此类问题，直观、形象、明了、容易理解、便于操作、易被学生掌握，是一种很好的通法.