数列单调性判别九法

浙江省嘉善第二高级中学 鲁和平314100

在高中数学里，函数的单调性非常引人瞩目.但数列的单调性却是默默无闻的．随着递推数列及数列不等式的深入研究和频繁登场，数列的单调性逐渐映入人们的视线.在此，总结数列单调性的常见判别方法.

1 定义法

例1 已知数列{an}满足(n∈N*)且a1=2.（1）求证：（2）求证：an＜an+1.

解：（1）由a1=2归纳易得：an＜3对任意n∈N*成立.故3+2an=

2 作差比较法

例2 设数列{an}满足试判断数列{an}的单调性．

3 作商比较法

例3 已知数列{xn}满足x1=1,xn+1=求证：数列{xn}(n≥2)是单调递减数列．

4 倒数比较法

例4已知数列{an}满足设sn为{an}的前n项和.证明：

（1）an+1≤an；（2）sn＜2.

5 均值不等式法

6 递推法

7 导数法

8 构造函数法

9 数学归纳法

例10 已知数列{an}满足求证：

证明：先用数学归纳法证明0＜an＜1,当n=1时，，结论成立；假设当n=k时结论成立，则故，所以n=k+1时结论成立．