小明是怎么判断的

文／陈 平

小明在探究中遇到了这样一个问题：

制作某产品有两种用料方案。方案一：用4张A型钢板，8张B型钢板；方案二：用3张A型钢板，9 张B型钢板。A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？

小明很快就给出了正确答案，选择方案二。你知道小明是如何判断的吗？

小明是这样解释的：设A型钢板的面积为x，B型钢板的面积为y，则方案一所需钢板的面积为4x+8y，方案二所需钢板的面积为3x+9y。作差，得4x+8y-（3x+9y）=x-y。由A型钢板的面积比B型钢板大，可知x＞y，则x-y＞0，所以4x+8y＞3x+9y，故选择方案二。小明通过“作差法”做出了判断。

对于任意两个数a、b的大小比较，利用不等式的性质可以得到：当a-b＞0 时，一定有a＞b；当a-b=0 时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b。反过来也成立。我们把这种比较两个数大小的方法叫作“作差法”。

我们用小明的方法——作差法，做几道题试试：

1.若x=2a2+3b，y=a2+3b-1，试比较x、y的大小。

要比较x、y的大小，可以比较x-y与0 的大小关系。由于x-y=2a2+3b-（a2+3b-1）=a2+1＞0，即x-y＞0，所以x＞y。这是“作差法”的一个直接运用，只需要按部就班即可。我们要注意，本题中x、y表示的是两个多项式，利用“作差法”时，要将多项式加括号，否则会出错。

2.已知：A=2x2y+8y，B=8xy，且A＞B，试判断y的符号。

由A＞B，可知A-B＞0，即2x2y+8y-8xy=2y（x2-4x+4）=2y（x-2）2＞0。因为（x-2）2≥0，由不等式的性质可知y＞0。这是“作差法”的一个间接运用，由A＞B得到A-B＞0，将2x2y+8y-8xy因式分解成2y（x-2）2是解题的关键。

3.已知：a、b、c为三角形的三边，试比较a2+c2-b2和2ac的大小。

此题依旧可以采用“作差法”。两式相减后，写成积的形式：a2+c2-b2-2ac=（a-c）2-b2=（a-c-b）（a-c+b）。因为a、b、c为三角形的三边，所以a＜c+b，a+b＞c，所以a-c-b＜0，a-c+b＞0，所以原式小于0，即a2+c2-b2＜2ac。