多思路探究解法 促思维能力提升

石林峰

摘要：推理能力是学生思维能力重要组成部分，而几何推理是推理能力培养的重要载体。在几何课堂教学过程中，如何促进学生思维能力的提升，是一线教师要思考和探究的课题。本文以八下期末考试一道几何试题为例，根据图形的基本特征，通过旋转变化、截长补短、模型化，进行求异思维与探究。从解答方法、学生解答思路受阻情况，提出几点思考：注重基础知识，是促进思维能力提升的前提;提炼思想方法，是促进思维能力提升的关键;引领一题多解，是促进思维能力提升的重要方法。

关键词：一题多解   几何推理    能力提升

发展学生的数学思维能力是数学教学的核心任务。在学习中，学生能否运用数学思维方式进行思考，是会学与学会的具体体现，也是学生数学核心素养养成的前提。提升数学思维能力，关键在于培养学生推理能力，而几何推理是学生推理能力培养的重要载体。在几何课堂教学中，学生不仅要掌握图形与几何的基本知识和基本技能，更要收获基本思想和基本活动经验，从而学会数学思考，促进数学思维能力的提升。在几何解题教学中，要引导学生从不同的途径、不同的角度、不同的思路去探索解题方法，并在实践中进行思考，从而探索提升思维能力之路。

一、试题呈现及分析

1.题目（本小题满分12分）如图1，在平行四边形ABCD中，（AB>BC），AE⊥BC，垂足为E，DF⊥BC所在直线，垂足为F.

（1）求证：BE=CF

（2）如图2，作∠ADC的平分线交边AB于点M，与AE交于点N，且AE=AD.求证：CD=CF+AN

2.試题分析：本题以三角形、平行四边形为基本图形，主要考查平行线的性质、三角形的性质与判定、平行四边形及特殊平行四边形的性质和判定等知识。第一小题，主要解题思路是利用三角形全等来证明或利用线段的和差来证明线段相等（学生比较容易做出来，本文不作讨论）。第二小题求两条线段的和等于另一条线段，常用的方法是利用转化思想，把不在同一条直线上的线段转化到同一条直线上来，然后再去证明与另一条线段相等。也可以把一条线段分成两段，然后分别证明相等。

本题作为八下期末压轴题，命题坚持把基础知识、基本技能和基本思想方法最为重点，主要考查学生识别和理解几何图形能力（如模型化解题）、综合解决问题能力等能力。

3.考生情况

在阅卷过程中发现，只有较少的学生能正确解答第二小题，这是阅卷老师没有想到的。当然也有学生略知思路与方法，但还是火候不够。例如：如图5，在CD上截取CF=CG，连接GF.只要证明AN=DG即可。要证明AN=DG，只要证明△AMN≌△DFG（学生很简单的就用角边角定理证明全等了，但是∠4与∠6相等还是个迷）。基于学生思路种种受阻情况，笔者独自探索求解，理顺思路后进一步回顾反思，希望对学生的解题有所帮助，对教师教学有所导向。

二、思路与解法

基于以上分析与情况，本题应通过多途径、多角度、多思路探究解法，以模型思想、旋转思想、截长补短等解题思路为突破口，然后利用所学角平分线、三角形、平行四边形等性质求解。

思路1：旋转变换，聚分为合

在求证CD=CF+AN时，通过旋转变换，把CF和AN分开的两条线段转移合到一起。本题将△AND旋转变换到△DFG（或△ADG），从而将线段CF与AN转化到同一直线，并且与CD在同一个三角形中，构造出等腰三角形求解。

解法1：如图3，由（1）得四边形AEFD为正方形，可将△AND旋转90°至△DFG，则C、F、G三点在同一直线上。

由旋转得到△AND≌△DFG，得到AN=FG。然后证明CG=CD，从而得到CD=CF+AN.

解法2：如图4，由（1）得四边形AEFD为正方形，可将△CDF旋转90°至△DFG，则A、N、G三点在同一直线上。（解法同解法1，略）

以上两种解法是基于问题的特征：FD和AD是具有共顶点、等线段的特征，具备旋转变换条件，而且结合目标要把两条线段相加等于另一条线段，所以想到通过旋转变换后的到了解法1和解法2。

思路2：截长补短，或分或合

在求证CD=CF+AN时，通过截长补短法，把CF和AN分开的两条线段转移合到一起，或把CD线段进行分割，从而证得结论成立。延长线段EF（EA），构造全等三角形，从而转移已知线段到同一直线，即补短合线段来求解。或在CD上截取已知线段相等的线段，然后证明另一条线段相等。

解法3：如图3，延长线段EF，使得FG=AN，连接DG.易证△FDG≌△AND，所以AN=FG.同解法1证得CD=CG.所以CD=CG=CF+FG=CF+AN.

解法4：如图4，延长线段EA，使得CF=AG，连接DG.易证△ADG≌△CFD，所以AG=FC，DG=CD.同解法1证得DG=GN.所以CD=NG=AG+AN=CF+AN.

解法5：如图5，在CD上截取DG=AN，连接GF.易证△AMN≌△DFG，得到对应角相等。然后证明∠9=∠8，从而证得CD=CG+DG=CF+AN。

解法6： 如图6，在AB上截取AG=AN，连接GE.

易证△AGE≌△ANM（解法同解法5，略）

因为有了解法1和解法2，联想到线段证明中的截长补短方法。延长线段EF（EA），构造全等三角形，就把两条线段接在一起，从而得到解法3和解法4。既然能补短，那么也就能截长，可以直接在CD上截取，也可以在与CD相等的AB上截取，从而解法5、解法6。

思路3：几何模型，移花接木

在求证CD=CF+AN时，通过相关几何模型，转移已知线段，构造等腰三角形，从而证得结论成立。

解法7、8：过点A（F）作CD的垂线，通过“一线三等角”几何模型构造全等三角形，转移CD至AP（HF），DN与AP（HF）相交构成两个等腰三角形求解。

解法9、10：过点A（F）作DN的垂线，构通过“一线三等角”几何模型构造全等三角形，转移AN至DG，构造两个等腰三角形△ODG和△COF，从而求解。

解法7： 如图7，过点A作AP⊥CD，垂足为K，交DN于Ο，交DF于P.

易证△APD≌△CDF，得到DP=CF，AP=CD.然后分别证明AN=AO，DP=OP.从而得到CD=AP=AO+OP= AN+DP=AN+CF.

解法8： 如图8，过点F作FH⊥CD，垂足为Ο，交DN于G，交AE于H.易证△HFE≌△CDF.（同解法7，略）

解法9： 如图9，过A点作AG⊥ND，垂足为H，交BF于G.易证△AEG≌△DAN.得到AN=EG。再证明AB=BG.从而的到CD=AB=EG=BE+EG=CF+AN.

解法10：如图10，过F点作FG⊥ND，垂足为H，交AD于G，交CD于Ο.易证△FDG≌△DAN.得到DG=AN。再证明DG=OD，CO=CF.从而得的目标结论。

由思路1和思路2进一步得到启迪，以上方法都是通过转化，把已知的线段转移后去求证目标结论。因为已知图形中有正方形，所以笔者尝试利用一线三等角的基本模型把CD转移，转移后的图形又能证明是等腰三角形，而这两条腰的线段就是目标线段，从而得到了解法7、8。因为有第一题已经知道BE=CF，所以想到在BE的一边补上AN，从而去作DN的垂线，还是利用一线三等角转移线段，得到等腰三角形证得目标结论，得到解法9、10。笔者还认为几何证明中要善于使用尝试（当然不是盲目尝试）。

三、思考与启迪

笔者在该题解题思路的探究過程中，得到了一些启迪：会解、巧解数学题是一种本领，本领的强弱在于数学思维的深度与广度。那么，如何促进学生思维能力的提升？通过几何推理的教学，特别是几何题一题多解、一题多变等的探索，有利于学生思维能力的提升。具体谈以下几点：

1. 注重基础知识，是促进思维能力提升的前提

在几何教学中，几何图形可以分为：点、线、面。点、线（中位线、角平分线、中垂线、平行线等）、面（等腰三角形、直角三角形、平行四边形、特殊平行四边形）这些几何图形的基本性质是提升几何推理能力，促进数学思维能力发展的最最核心的知识，没有这些基础知识、基本思想与方法的支撑，几何问题的解答就没有有效的工具，就无法完成解答了。所以在平常的几何课堂教学中，要帮助学生理解并理清相关定义、概念、性质、定理，引导学生掌握基本的解题思想与方法，从而建立牢固系统的知识结构体系。在解答几何问题是，观其图，知其法，迅速从知识结构体系中找到解题策略与方法。思维能力支撑着几何推理。反之，几何推理的培养又能促进思维能力的提升。

2. 提炼思想方法，是促进思维能力提升的关键

①几何模型构建，提升解题能力

什么是几何模型？笔者认为就是教师在几何解题教学中，从复杂图形中分解出基本图形，从而发现并总结出具有模式性的、结论性的，能有效的解决某些几何类型问题的技巧。

比如在学习浙教版《4.4.1两个三角形相似的判定》的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。总结出相似三角形“A型”“X型”等模型;

比如在学习有平行线和角平分线的组合图形时，归纳出“双平等腰”模型。因为AC∥BE，AD平分∠BAC，所以得到△ABD为等腰三角形。三个要素中任意知两个，就能得到第三个结论;

比如在一条直线上的同侧存在角度相同的三个角，归纳出“一线三等角”或“K型”模型，来得到全等三角形和相似三角形;

比如利用“两点之间，线段最短”归纳出折线段求和的最小值“将军饮马”模型。

在解题过程中，准确辨识数学题中的几何模型，进入模式化解题，使得做一题，通一类，从而提升解题能力，解题能力的强弱反映了数学思维的发展程度。当然，我们在教学中也要把握好方向，切不可依赖死记忆、机械性模仿与操练来完成教学目标。我们不仅要能模式化解题，更重要的是培养学生能“有解模套模的方法，更要有识模验模的能力”。

②巧用旋转变换，彰显转化策略

什么是旋转变换？义务教育浙教版数学九年级上册《3.2图形的旋转》定义为：一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕着一个固定点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的的图形运动叫做图形的旋转（rotation）。这个固定的点叫做旋转中心（center rotation）。旋转变换后所得的图形在形状、大小上与原图形一样，所以可以利用旋转变换来构造全等图形，转化已知条件，结合隐含条件，使得已知条件与要证明的结论产生联系，从而得到解。我们从平时教学中发现，学生几何知识的熟练运用、独立解题的能力较弱，往往碰到难题不知所措，转化问题的策略明显不足。所以在教学中我们要重视旋转变换来解题的思路引导，把复杂的问题简单化明了化。初中阶段旋转变换在等腰（等边）三角形、直角三角形、正方形以及圆中广泛存在，体现了普遍性特点，教师在几何教学中必须引导学生探索图形规律，培养学生旋转变换意识，从而能巧妙的利用旋转变换来解决几何问题，更能促进学生数学思维能力的提升。

3. 引领一题多解，是促进思维能力提升的重要方法

一题多解的教学思路常常被数学教师在日常教学中运用，即根据已知条件和需要解决的问题，从不同角度、多种思维途径分析问题，得到不同的解题方案，从而选择最佳解题方案。一题多解的教学思路不仅可以让学生对基础知识的理解与掌握，还可以促进几何推理能力的提升，发展学生数学思维能力，使得学生的思维更具发散性，思维更具广度和深度。另一方面，教师要充分发挥学生的主动性，通过自主探究与合理猜想，开阔解决问题的思路，进一步促进数学思维的发展。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M]。北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]孙学东.数学需要教“解题模型”吗？[J].初中数学教与学，2019（2）.

[3]张宁，陶敬. 多角度构建思路 多途径探索解法[J]. 数理化学习（初中版），2018（11）.