单元重组：让深度学习真正发生

徐晓良

[摘要]教材是主要的课程资源，但再好的资源也无法兼顾地域和学生的差异，存在着适应性不足的缺陷。结合学生的实际情况，开展了为期三年的小学数学单元重组教学实践研究，从学生的学习起点出发，对“乘法口诀”“分数的初步认识”等单元内容进行重组，通过整合、拓展与重构，力求做到立足学生、超越文本，从而构建高效数学课堂，让学生数学深度学习真正发生。

[关键词]单元重组;深度学习;整合;拓展;重构

[中图分类号]G623.5  [文献标识码]A  [文章编号]1007-9068（2020）02-0015-06

一线教师往往习惯于脚踏实地，低头走路，不愿意抬头望天，很少有人敢挑战教材的权威性，更谈不上重组教材了。事实上，专家也在不断重组和修改教材。如2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》就改变了小学数学二十几年来一直用算术思路解方程的要求，走了一條用代数方法解方程的路——明确提出了“理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程”，对此，一线教师一开始都无法接受，后来在实践中渐渐感受到原先的编排体系不妥：如果在小学的时候用算术思路解方程，到了中学却是用等式的基本性质或方程的同解原理来解方程，那小学算术思路及算法掌握得越牢固，对中学代数学习的负迁移就越明显。至此，教师理解了“同一内容两种思路、两种算理解释的现象，有利于加强中小学数学教学的衔接”的观点。

教材本身不断地改编和完善，激发了教师研究教材的兴趣。我校数学组成功进行了“分数的初步认识”单元重组教学。所谓单元重组教学不是教学内容简单的合并、增加与调换，而是指在教学时，教师根据学生的学习起点，俯视整体教材与单元内容，聚焦重点与难点，利用整合、拓展和重构等方法对教材内容进行加工，让深度学习真正在学生身上发生。

一、聚焦问题——从“井底”跳出来

由于缺乏对单元整体性的思考，很多教师的日常教学都存在缺陷，具体表现在以下几个方面：

（一）“只见树木，不见森林”的教学，系统性不强

过去教学的模式以“例题”为单位，每个例题教学都

是“各自为政”，没能站在系统观的角度来预设教学流程，教学缺乏整体性和系统性，以至于“例题”和“单元”严重脱节，更造成了学生对数学知识的获取零星而杂乱，即“花时多收效低”的状况。

（二）同一内容体系，教学目标雷同，缺乏教学的层次性

单元教学知识在内容上包含着深刻的思维和丰富的智慧，但在形式上仅是简单、现成的结论及事实论证，同一主题或单元的内容教材在编排上往往结构相似。对此，不少教师照搬教材上课，没有自己的创新处理方式，造成课堂教学流程相似、模式雷同，学生的学习积极性不高，课堂收效甚微。

（三）重视独立课的研究，轻视通盘整体的考虑

很多教师在处理教材时特别注重某一节课的教学设计、练习设计和思想方法的渗透。特别是在一些展示课堂上，教师把大量的教学内容、数学思想方法渗透其中，为求全、出彩而赶课，匆匆忙忙总是上不完预设环节。于是，对于同一主题但不同层次的知识教学缺乏有效的沟通和衔接，或知识点重复，或前后知识断层、衔接不当，跨度太大。

（四）教学偏重于教法，学生思维的整体关联度不高

教学中最为核心的两个关系是教师与学生的关系，以及教与学的关系，但比较常见的却是教师—学生、教法—学法的单向传递，显然，这种单向传递的方式忽略了关联性，其结果是学生的学法空间不足。而从结构化视角来看，学生只有先了解知识的整体框架或上位概念，才能为后续的学习导航，支撑自身的主动思维。

为什么会产生这些现象呢？究其根源，主要有三个方面的原因：一是教师自身的数学知识缺乏系统性。由于学科知识背景不够深厚，教师对小学数学知识点之间的内在联系缺乏整体的思考，而新教材拓展的新领域（如统计与概率）对教师而言，又是知识的盲点。二是教师习惯于单个知识点的教学，爱用细分类型的教学方式，不善于从历史的纵向维度和学科的横向维度去思考和钻研。三是过于迷信教材，对教材上内容的安排是否合理，是否适合自己学生的学习，学习起点是否过高或过低，从不质疑。

综上，教师不能做井底之蛙，必须从“井底”跳出来，学会从结构化角度整体把握学科教学，抓住知识间的内在转承和关联关系，真正意义上厘清教与学的关系，真正找到学生立场、教材与教学的联结点，让学生的思维在学习中不断发展、变化、生成、生长。

二、重组实践——让深度学习真正发生

所谓“深度学习”是学生通过对新知识的批判性分析与对原有知识的有效整合，形成对学习内容的深刻理解，完成学习迁移，最终以能改变个人思想或行为的方式内化知识。作为新时代的教师，要有一定的高度和眼界，知道知识点的纵向和横向联系，能根据学生认知起点对教材进行加工重组，使学生深度学习真正发生。结合以上的概念界定与问题分析，从以下三个维度对教材进行重组。

（一）横向整合：结构化把握教材，丰富学生思维的厚度

教材中的一些单元内容之间的结构是相近或相似的，在设计教学时可以根据学生的学习特点，对这些内容进行分析，找出它们之间的关联处和相似点，结构化地进行整合。下面就以二年级的“乘法口诀”为例，将两个单元进行结构化整合。

1.“乘法口诀”内容与教学误区分析

二年级的“乘法口诀”分两个单元：第四单元，教学内容为乘法的初步认识、2?6的乘法口诀、乘加和乘减式题、用所学的计算知识解决问题;第六单元，教学内容为7的乘法口诀、8的乘法口诀、9的乘法口诀、乘法口诀表以及用7?9的乘法口诀解决简单的问题。（如图1）

首先，对于乘法口诀的教学，教师常常会走入一个误区，如当学生列出算式8x8=64时，教师会问：“为什么这样算？”学生自然就根据思维定式回答：“因为八八六十四。”这就犯了一个逻辑上的错误。因为“八八六十四”是新课的内容，学生应该是通过查表，或根据前面的56再增加8得到64的，口诀只是为了容易记住这个答案而编出的顺口溜。这样的教学模式，忽略了学生对乘法口诀的推导和验证，学生的推理能力没有得到充分的培养。

其次，教师往往只是根据教材的编排方式进行设计：从第一节课学5的乘法口诀开始，先让学生5个5个地数，再根据福娃图或手指图5个5个地加，接着说一说1个5是几，2个5是几，3个5是几，4个5是几……然后写出乘法算式和乘法口诀，并交流记忆口诀的方法，最后让学生背熟。到最后一节课学9的乘法口诀时，也还是先让学生观察分析龙舟赛后填写连加结果，只是多了一个在数轴上呈现的环节，接着还是写出乘法算式和乘法口诀，并交流记忆口诀的方法，最后还是让学生背熟。这样的教学没有对教材拓展延伸，更没有创造性地从文化的角度设计教学和使用教材。学生会觉得学口诀就是在重复做一件事，即使刚开始有点新鲜感，但只会越学越觉得无趣，味同嚼蜡，学习效率更是难以提高。

最后，在以往乘法口诀的学习中，学生是运用“逐个累加”的方式算出“几个几”的结果的。因此，在编口诀的过程中，乘法口诀与“几个几”常常呈现一种单一的联系，口诀形成过程過于程式化，缺少了对“几个几”本质意义的反思和追问。教师仅仅是让学生观察图意，顺次求出“1个5、2个5……9个5”，接着试编口诀，记忆口诀，最后运用口诀解决一些简单的问题。如果把课堂定位于学生会编、会背、会用口诀，那么这种缺乏挑战性的学习会让学生觉得所有的乘法口诀都是一个套路，没什么可学的。

2.单元整合：在玩“口诀”中理解意义

对数学概念形成与意义的理解必须扎根于结构化的数学学习活动。口诀的学习可分三段，每一段都是以理解乘法的意义为核心：第一段，学深学透5的乘法口诀;第二段，放手让学生自主推导2、3、4的乘法口诀;第三段，在灵活运用中学习6、7、8、9口诀。（如图2）

对于“5的乘法口诀”，以乘法的意义为核心，学生借助点子图进行推理：先编“四五二十”这句口诀，然后从增加1个5或减少1个5出发开始推理，最后完成9句的口诀。部分学生作品如图3：

通过点子图不但可以推理出5的乘法口诀，还能推理其他的乘法口诀：可以竖着增或减，也可以进行拆分，还可以添上点子得到新的口诀。口诀教学借助了数形结合的力量，使得学生对“几个几”的来龙去脉获得了新的理解。

教学中发现，类似“6个5比5个5多（），比7个5少（）”的问题，学生还是能够顺利作答的，但是把文字叙述的方式改成“5x6=5x5+（），5x6=7x5-（）”，很多学生就难以理解，特别是“5x6=5x5+（）”。这说明学生即使背熟了乘法口诀，对于“几个几”的意义仍然生疏。针对于此，可创设玩转乘法口诀的活动。

第一种玩法：算式接龙。学生自己挑选一个喜欢的算式，进行举一反三的变化。（图略）

第二种玩法：一题开花。“看到‘四八三十二这句口诀，你知道它能解决什么样的问题？请你写在卡片上。4+4+4+4+4+4+4+4=  ，5x8-8=  ，3x8+8=  。”还有线段图、实物图、点子图等。（图略）

通过对本单元的整合重组，可以看到乘法意义的生长，看到学生思维的增长。学生不仅会背口诀，更能灵活运用乘法口诀解决问题。乘法口诀的学习，虽然还是离不开对乘法意义的理解和乘法口诀结构的认识，但重组后的教学更注重学生对数学本质的理解，培养学生关键的数学能力，如观察、比较、推理、建模等多种能力，让学生在具有挑战性的活动中深刻感悟数学知识间的联系，获得“从不同视角切入，也可能会得到不同收获”的体验，为后续的学习积累一些思想和方法上的经验。

（二）纵向重构：递进化把握教材，拓展学生思维的深度

教材中的许多内容是递进的关系，把握这些内容不仅要考虑每一节课的知识的递进与转承，更要整体递进地理解教学内容的内在关联性。可以按这些内容的内在特征将其组成一个整体，使学生先整体认识再局部把握，在整体感悟中把握知识的共性和差异性。正如叶澜教授所说：“在研究课堂教学时，要注意两方面的关系与整合：一方面是知识体系的内在联系与多重关系，以求整合效应;另一方面是学生生命活动方面的内在联系、相互协调和整体发展。”然而在分数的教学中，存在着非常多的问题。

1.从一个调查题的错误说起

（六年级的调查题）“一辆汽车从甲城开往乙城，行了全程的，离中点12千米，问：甲城与乙城相距多少千米？”

2018年，笔者对六年级某班的48人进行了调查，结果发现此题正确率只有50%。学生采用的大多数是方程和分数除法的解题策略，错误的原因主要是列方程的找错数量关系，用分数除法的不清楚12千米的对应分率。如果利用线段图稍加分析（如图4），显而易见，甲城与乙城的距离就是12x2x3=72（千米）。

为什么学生不会用这种方法？通过访谈得知，多数学生没有想到这样做。而令人惊奇的是，从范老师执教的三7班中随机找来五名学生，有三名学生都不约而同画出线段图，顺利地利用分数意义解决了这个问题。这种那么有价值的原生态的思想为什么在六年级就泯灭殆尽了呢？这个问题一定与三、五年级分数的教学有关。

2.分数概念教学存在问题分析

分数概念在小学阶段具有很重要的地位，纵观小学阶段关于分数的概念教学，多数课堂上经验性彰显有余，本质凸显不足，从而导致分数本质的缺失。

【问题1】“我折不动”

在一节形象有趣的“分数初步认识”的课结束后，一位教师随机采访了一位学生，他指着教室外面的栏杆问：“今天学了分数的认识后，你能得到这根栏杆的二分之一吗？”学生想了想说：“不能。”教师很奇怪：“为什么？”学生为难地说，“因为我没有办法折这根栏杆。”教师惊讶地问：“没有办法折？”学生说：“是的，因为栏杆太硬了，我折不动。”

【问题2】“因为那颗星星太大了”

在一节“分数意义”的课结束后，一位教师随机采访了一位学生。

教师：“五星红旗上有五颗星，最大的那颗占五分之一，对吗？”学生：“不是。”教师：“为什么？”学生：“因为那颗星星太大了。”

【问题分析】

（1）经验是容易忘记的

利用分数的含义解决上述六年级调查题是非常简单的方法，为什么会像往事一样被学生丢在风里呢？那么有价值的原生态的思想为什么在六年级的学生心中泯灭殆尽呢？出现这样的问题，有可能是六年级分数应用题教学中，从朴素的原生态解题方法教学（利用分数本质解决问题）到精致的形式化解法教学（利用分数的乘除法意义和方程解决问题）“走得太匆匆”，学生虽然经历了朴素的原生态解题方法向精致的形式化逻辑推演过程，但学生随之自然建立起的与精致的形式化数量关系相对应的数学思想方法潜存着知识与方法“分离”的危险。这种“分离”状态往往会使精致的形式化数量关系本身失去解决问题的灵性，从而导致解决问题时机械呆板。但最有可能的还是学生根本没有掌握分数的本质，他们对分数的理解仍停留在经验上。经验是容易忘记的，本质的理解才能在人的心中扎下根。

（2）经验是解释不了数学内涵的

问题1所呈现的问题与课堂教学中充斥着太多让学生“折一折”的活动而没有揭示本质有关，只是单纯依赖生活经验建构概念的全部意义是不能有效揭示概念的内在意义和关系的。“折一折”是理解分数的有效操作活动，但是分数的本质并不是折出来的。对于分数的认识教学，部分教师存在一种误解，以为初步认识只是一种肤浅的认识。这样的想法是错误的。三年级上册的“分数初步认识”虽然是初步的认识，但也是在具体直观层面上的深刻认识，这就如同一个胚胎，虽然是初级的，但却具有以后生长出成熟器官的全部生长点！因此，分数的初步认识的教学不能只是在直观经验上建构概念，更要充分关注分数的本质内涵。

（3）只停留在经验性的教学，很难使学生进行数学思维

对于问题2中学生认为那颗大的五角星不能占五分之一，说明学生对分数的理解还停留在最初的原始状态——分数一定是平均分，并且每份数量一样多、大小和形状一模一样。其实在將分数从一个物体拓展到一个整体的时候，已经抽象出每份数量和整体数量的关系，而忽略平分物体的形状和大小。因此，教师一定要考虑清楚分数的意义是作为“行为的分数”还是“定义的分数”。一对对数字，例如等，或者“二分之一、五分之二”等并不是“分数”，它只是代表分数概念的符号或者语言。一般来说，学生学习分数首先从“行为”（平均分物体）入手，而不是从“定义”入手。只有学生经历并体验了把一个“整体”平均分为各个部分，所关注的“部分”和“整体”之间的关系可以用一个新的数来表示之后，才可以给出分数的“符号”表示，并建立“行为”和“符号”之间的一一对应关系。只有经历从“行为”开始到“率”的角度来理解分数这样的过程，学生才能真正理解分数的意义。因此，“分数认识”的教学不能只停留在机械的平分活动经验中。

纵观“分数初步认识”单元的教学，存在以下几个问题：首先，分数的初步认识只停留在活动经验上，在活动经验与数学抽象思维的过渡上做得不够;其次，分数的初步认识割断了分数与除法的关系;再次，分数的大小过早形式化;最后，分数的简单应用忽略两个转化，脱离直观图形，学生的画图能力没有得到足够的重视，没有很好地将分数问题与整数等分除问题建立很好的联系。

3.纵向重构：赋予思维生长的力量

基于以上的思考，为了让学生更好地理解分数的本质，我们对“分数的初步认识”这个单元进行重构，以期学生真正掌握分数的本质。（如图5）

“分数的初步认识”在重构前分五课时教学，而重构后分六课时。将分数的认识分成数量与关系两部分。在分数与除法中认识几分之一，用分数表示图，给分数配图，画图比较大小，表象图计算，分数问题与整数除法问题这六课时的学习，让学生充分地认识和理解分数的三层含义：分数不只是一个数，它能反映一个平分的过程，并且它还能表示一种关系，那就是部分与整体的关系。具体有以下五步。

第一步：分层推进分数意义的理解。

目标1：认识到分数是有大小的一种新的数，它是为了帮助我们度量小于1的量，它应该比1小、比0大。

目标2：理解将一个整体平均分成n份，相当于1被n除。以前是不可以的，现在可以了，商是分数。

目标3：理解分数是用来描述部分与整体中的关系大小的。

在分数的初步认识的第一课教学中要注意以下问题：不能始终通过动手折、分来理解分数。折一折、分一分是理解分数的有效操作活动，但是如果只停留在积累活动经验是无法理解分数真正含义的。经验解释不了数学的内涵，只停留在经验性的教学，很难使学生进行数学思维。因此，在教学“二分之一”时没有安排学生动手操作的环节，因为学生对平均分成两份具有丰富的生活经验，只要进行表象操作即可。对于故意设置为“没有平均分”的第二幅图，目的是让学生意识到：没有平均分成两份不能用二分之一表示，但可以用别的分数表示。

第二步：让除法与分数建立联系。

很多教师都喜欢采用平均分的情境引入“分数的初步认识”，如切一个苹果，分一块蛋糕，或是分一个月饼等，然后引出平均分，导入分数，很少有教师从除法方面引入分数。从除法运算本身出发——1÷2=？1÷3=？让学生思考该用哪一个数表示商，这样能够引发学生强烈的认知冲突，有效激发学生产生需要一个新的数的内在需求。也许有人会说“这不是拔高要求吗？除法与分数的关系不是五年级才上的吗？”应该明确的是，这节课只是从除法的意义出发的引入，而不是要阐述分数与除法的关系，除法其实就是平均分，除法和平均分都是学生认识分数的起点。

第三步：注重部分与整体的关系，从面积大小过渡到数量的关系。

教材增加了“从一个物体到一个整体的分数初步认识”一课，看上去很简单，但对三年级的学生来说从一个物体到一个整体的认识是非常抽象的一个问题，是让学生从面积模型建立的分数向部分与整体数量关系的一个拓展，通过这个拓展让学生明白，分数在表述数量关系时，应关注数量而忽略形状和大小等一些非本质的东西。这个环节如果没有拓展好就会出现前面“五星红旗”的笑话。

第四步：注重利用分数含义比较大小。

“分数的大小比较”这一课不能让学生过早地进行形式化比较，也就是“分母相同，看分子，分子大的就大;分子相同，看分母，分母大的反而小”。分数大小比较的目标不只是为了比较，主要目的还是促进学生进一步理解分数的本质。理解分数的本质不是一节课就能完成的，而是需要整个单元去完成。如：五个好朋友喝饮料，分别喝了一杯的，（如图6）谁喝得多呢？

第五步：将文本转化成直观图形。

只要理解分数的意义，分数的简单应用问题就不再有问题。因为如果学生能够将分数的问题转化成直观的图形再进行思考，那么分数的问题与前面的归一问题就差不多。如倍数问题、归一问题和归总问题都是分数简单应用的基础：

工人叔叔修一条长24米的路，已经修了五分之三，修了多少米？

根据分数的意义画出图形（如图7），这道题就变成了一道归一问题。

解决问题的关键是将文本转化成图形。因此，这节课必须注重两个转化：一是利用意义将文本转化成直观图形或线段图;二是将分数问题转化成整数等分除问题。

以上是“分数的初步认识”单元重组教学，站在整个分数知识教学体系进行合理加工，优化整合而成的，效果非常明显。

（三）生长拓展，延伸学生思维的宽度

单元重组并不一定是单元内所有知识的一个整合，也可以是单元内习题的整合、内容的补充、知识的拓展等，关键是要具备单元整体的意识。

1.习题改编，强化习题的黏度

习题是数学教材的重要组成部分，是学生进行有效学习的重要载体。有些教师比较重视例题教学，但忽视了对教材习题的研究，有时仅把教材的习题作为作业布置给学生，缺少对习题的选取以及与其他教学过程的融合，弱化了习题的功能。其实，习题也可基于重组的出发点和策略进行合理改编。

圖8是人教版教材五年级上册“用字母表示数”单元的习题。

将这组习题分解重组，变成了如下一组题：

之所以这样改编，是因为教材原来编排的两个小习题思维跳跃性太强，在难度、梯度等方面存在不足，只有小部分学生能够解答正确，这就失去了题目本来的价值。反观改编后的习题，从4个到10个连续正方形中找规律的习题人人都可以解决，在此基础上再让学生找摆n个正方形需要几根小棒的规律，坡度明显降低了;从“举例寻找规律→字母归纳规律→数据代入公式→规律逆向应用”，思维由简单到复杂，层次比原来更清晰了。

2.内容补充，拓宽思维的广度

这里的内容补充是指教材的简洁性导致不可能有太多的笔墨表达所有的意思，有些还是精心设计的“留白”，教师要通过“再创造”教学，把这些“留白”开发出开展来，对其进行合理扩充，丰富教材资源的内涵，引导学生互动式的思辨，拓宽学生的思路，加深学生的体悟，优化学生的思维方式。图9是人教版教材四年级下册“求一个小数的近似数”一课的例题。

在学生学完取近似数的方法后，教材上有一句话：“注意：在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。”对此，教师一般都会这样告诉学生：“小数近似数末尾的0代表了这个小数的精确程度，所以不能去掉。例题中0.984保留一位小数是1.0，但不能写成1，因为1.0比1更精确。”这时，学生就会迷糊——1.0和1大小一样，为什么说1.0更精确呢？这就成了本节课的学习难点。

在教学此课时，我们对例题进行了改编和补充，将“豆豆身高0.984米”改为“一位运动员的身高是1.862米”，对其分别保留整数、一位小数和两位小数，提问：“以下三个答案（2米、1.9米和1.86米），哪个更接近原来的真实情况呢？”学生将三个近似数分别和1.862米比较，得出各相差0.138米、0.038米和0.002米，显然，保留两位小数的值与原来值相比最接近。至此，学生自主理解了“保留位数越多，精确度就越高”。

在上述教学的基础上再补充一道例题，教学过程摘录如下：

（1）理解题意，提炼方法

师（出示）：一位小朋友的身高精确到十分位和百分位，结果分别是1.5米和1.50米。请你想一想，他原来的身高可能是多少？

（引导学生理解题意后用“（）≈1.5”和“（）≈1.50”的形式进行反推）

（2）学生尝试，反馈答案

生：要使“（）≈1.5”，（）里的数可能在1.45?1.54之间，要使“（）≈1.50”，（）里的数可能在1.495?1.504之间。

（3）数形结合，促进理解

（根据学生回答，利用数轴分别标示出近似数1.5的取值范围（如图10）和1.50的取值范围（如图11）（注：这是学生的表示方法，严格来说有问题））：对比两个图，可以发现1.50的取值范围比1.5的取值范围小得多。因此近似数1.50末尾的0不能去掉，不然精确的程度就不一样了。

3.内容延伸，挖掘思维的深度

数学教学要“注意引导的启发性和指向性。启发性的引导能激发学生的主动性，有效吸引学生展开思维的探索;指向性的引导能明确课堂方向，使学生的思维更有目的性。”许多数学问题可谓题在书外，根在书内，是教材内容的延伸，而“那些远离教材的部分最能体现教材的旨趣，因为教材的目的在于把我们引向更为广阔的世界”。教师要体会教材的编写意图和指向意义，充分挖掘与拓展教材，引导学生的思维从教材延伸至远处，再从远处回归到教材。

以人教版教材五年级上册“用字母表示数”单元的习题为例，在引导学生总结“如果摆a个正方形需要1+3a根小棒”后，将教材内容进行拓展，使习题内容所含知识更具结构化：

（1）拓展研究，发现规律

师：如果连续摆n个这样的三角形需几根小棒？

（让学生说规律）

师：在继续摆三角形的过程中存在“1+2b”的规律。