一道习题的拓广与应用

石峰 魏磊

解答数学问题时，要善于发现问题本身所隐含的规律或特征，或者经过变式研究后，得到新的规律或特征，然后运用这些规律或特征，帮助我们快速解决相关的问题，本文从一道课本习题出发.通过反思、拓广、应用，让同学们感受.数学探究的美妙过程.

例1（人教版数学教科书七年级下册第23页第7题第（2）小题）如图1，如果AB//CD//EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（ ）.

A.180°

B.270°

C.360°

D.540°

解析：因为AB//CD，所∠BAC+∠ACD=180°，同理可得∠DCE+∠ CEF=180°.

所以∠BAC+ ∠ACE+∠CEF=（ ∠BA C+∠ACD）+（∠DCE+∠CEF） =180° +180°=360°，故选C.

【反思1】去掉图1中的射线CD，如图2，我们思考：若AB//EF，则∠BAC+ ∠ACE+∠ CEF=360°还会成立吗？

图2中没有与两平行线相关的三线八角模型，结合例1中问题情境，考虑在图2中通过作辅助线构造基本图形解决问题.

如图3，过点C作CD//AB，则∠BAC+∠ACD=180°.

因为AB//EF，所以CD//EF，所以∠DCE+∠ CEF=180°.

所以 ∠BAC+ ∠ACE+ ∠CEF=（ ∠BAC+∠ACD ）+（ ∠DCE+ ∠CEF）=180°+180°=360°.

于是得到下面结论：

拓广1：如图2，若AB//EF，则∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.

这是一个非常有用的基本模型，它可以帮助我们快速而准确地解决与此相关的选择题或填空题，

例2一大门栏杆的平面示意图如图4所示，BA垂直地面AE于点A.CD平行于地面AE.若∠BCD=150°，则∠ABC=____ .

分析：根据上述模型及结论知：∠C+∠ABC+∠BAE=360°.从而150°+∠ABC+90°=360°.故∠ABC=120°.

【反思2】再观察图2，在直线AB与直线EF之间移动点C时，如下页图5，上述结论还会成立吗？

过点C向左作CD//AB，如下页图6，同上可得CD//EF，可证得∠BAC=∠DCA，∠CEF= ∠DCE，故∠ACE=∠DCA+∠DCE=∠BAC+∠CEF.

于是又得到下面结论：

拓广2：如图5，若AB//EF，则∠ACE=∠BAC+∠CEF.

这又是一个非常有用的“M”模型，

例3 如图7，将一副三角尺和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两块三角尺的一直角边在同一直线上，含300角的三角尺的斜边与纸条一边在同一直线上，含45°角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上.则∠1的度数是____ .

解析：图7中，AB//CD，“B-A -E-C-D”正好构成一个“M”模型，根据拓广2，得∠AEC=∠1+∠ECD.

故∠1=∠AEC-∠ECD=45°-30°=15°.

例4 （2019年东营，改编）将一副三角尺（∠A =30°，∠E=45°）按如图8所示的方式摆放，使得BA //EF、则∠BCE-∠AHF等于（ ）.

A.15°

B.30°

C.45°

D.50°

解析：由∠E=45°得∠F=45°，再由∠A=30°得∠B=60°.

因为AB//EF，所以图8中，“A-B-G-E-F'和“B-A -H-F-E”都分别构成“M”模型，根据拓广2，得∠BGE= ∠B+ ∠E，∠AHF=∠A+∠F，所以∠BGE- ∠AHF=（∠B+∠E）一（ ∠A+∠ F）=（60°+45°）-（30°+45°）=30°.故应选B.

【反思3】再观察图2，当点C在直线AB上方或直线EF下方时，结论又会是怎样的呢？

（1）当点C在直线AB上方时，会出现两种情况，如图9、图10.

过点C向左作CD //AB，因为AB∥EF，所以CD//EF.

在图9中，∠BAC= ∠DCA，∠CEF=∠DCE，故∠A CE= ∠DCA - ∠DCE= ∠BA C-∠CEF.在图10中，∠CEF= ∠DCE，∠BA C=∠DCA.故∠A CE=∠DCE-∠DCA=∠CEF-∠BAC.

（2）當点C在直线EF下方时，仍然会出现两种情况，如图11、图12.

同上分析，得到图11中有∠ACE=∠ CEF-∠BAC成立，图12中有∠A CE=∠BA C-∠CEF成立.

上述四个模型及结论可合并归纳为：

拓广3：已知直线l1//l2，A，B依次是L1.上两点，E，F依次是l2上两点，点C不在L1，l2上，也不在l1.与l2之间，则∠ACE，∠BAC和∠CEF三个角中，最大的角总等于另外两个角的和.

运用拓广3同样可以帮助我们快速而准确地解决与此相关的选择题或填空题，

例5如图13，直线a//b，含30°角的三角尺如图放置，∠DCB=90°.若∠1+∠B=70°，则∠2=____.

解析：直接利用上述模型有∠3=∠1+∠B=70°，故∠2=90°-∠3=20°.

要说明的是，上述四个模型中，平行线与平行线上的点有特定的位置关系，如果问题中的图形结构不满足这里的“特定的位置关系”，就不要盲目套用模型解题.

例6如图14，若AB//CD，则∠B，∠C，∠CEB之间的数量关系为____ ，

解析：仔细观察，此题图形与上述模型有区别，若直接利用上述结论，则会出错.我们用最基本的方法解答，

如图，过点E作EF//AB，则∠B=∠BEF，∠C+∠CEF=180°.

所以∠C+∠BEF+∠CEB=180°，故∠C+∠B+∠CEB=180°.

练一练

1.（2019年凉山）如图15，若BD//EF，AE与BD交于点C，∠B=30°，∠A =75°，则∠E的度数为（ ）.

A.135°

B.125°

C.115°

D.105°

2.（2019年齐齐哈尔）如图16，直线a//b，将一块含30°角（∠BAC=30°）的三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）.

A.20°

B.30°

C.40°

D.50°

3.（2019年宁波）已知直线m∥n.将一块含45°角的三角尺ABC按如图17所示的方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°.则∠2的度数为（  ）.

A.60°

B.65°

C.70°

D.75°

4.如图18，若AB∥ CD，则∠B，∠C，∠E三者之间的数量关系为（  ）.

A.∠B+ ∠C+ ∠E=180°

B.∠B+∠C-∠E=180°

C.∠B=∠E+∠C

D.∠B一∠C=2∠E

5.如图19，若AB//CD，则∠A，∠AEF，∠EFC，∠FCD之间的数量关系为（  ）.

A.∠A+∠EFC+∠FCD= ∠A EF+180°

B.∠A+∠EFC= ∠A EF+∠FCD

C.∠A+∠FCD= ∠AEF+∠EFC

D. ∠A +∠AEF=∠EFC+∠FCD

参考答案：1.D 2.C 3.C 4.B 5.A