外角和为360°

张景中

美籍华人陈省身教授是当代舉世闻名的数学家，他十分关心祖国数学学科的发展.人们称赞他是“中国青年数学学子的总教练”.

1980年，陈省身教授在北京大学的一次讲学中语惊四座：“人们常说，三角形内角和等于1800.但是，这是不对的！”

大家愕然，怎么回事？三角形内角和是1800.这不是数学常识吗？

接着，这位老教授对大家的疑问作了精辟的解答：

说“三角形内角和为180°”不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说“三角形外角和是360°”！

把眼光盯住内角，只能看到：

三角形内角和是180°：

四边形内角和是360°;

五边形内角和是540°;

……

n边形内角和是（n-2）x180°.

这就找到了一个计算多边形内角和的公式.公式里出现了边数n.

如果看外角呢？

三角形的外角和是360°;

四边形的外角和是360°;

五边形的外角和是360°;

……

任意n边形的外角和都是360°.

这就把多种情形用一个十分简单的结论概论起来了，用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律.

设想一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子（如图1）.每经过一个顶点，它前进的方向就要改变一次，改变的角度恰好是这个顶点处的外角.爬了一圈，回到原处，方向和出发时一致了，角度改变量之和当然恰好是360°.

这样看问题，不但给“多边形的外角和等于360°”这条普遍规律找到了直观上的解释，而且立刻把我们的眼光引向了更宽广的天地.

一条凸的闭曲线——卵形线，谈不上什么内角和与外角和.可是蚂蚁在上面爬的时候，它的方向也在时时改变.它爬一圈，角度改变量之和仍是360°（如图2）.