把握本质 通透解题 提升素养

闫伟 吴银军

[摘  要] 文章对一道解析几何模考试题展开解法探究，探寻命题理念，并对试题结论进行深层次拓展，以此指导高三复习备考，实现高效复习，提升学生数学核心素养.

[关键词] 解析几何;探究;提升素养

圆锥曲线与直线的位置关系一直是高考的热点和难点，在很多圆锥曲线题目中都是探求一些特殊结论（如定值、定角問题），这些结论看似特殊，实则都具普遍性，而且往往具有丰富的命题背景和深厚的内涵，研究此类试题不仅能够更好地把握解析几何的本质，还能透过试题挖掘隐含的命题规律，更能将其拓展到一般情况，从而提升学生数学思维，发展数学核心素养. 下面以一道解析几何模考题为例进行说明.

■试题呈现与分析

已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F■，F■，上顶点为B，△BF■F■的面积为■，C上的点到右焦点的最大距离为3，（1）求椭圆C的标准方程;（2）设C的左、右顶点分别为A■，A■，过A■，A■分别作x轴的垂线l■，l■，直线l：y=kx+m（k≠0）与C相切，且l与l■，l■分别交于P，Q两点，求证：∠PF■Q=∠PF■Q.

试题分析：试题背景平和，给人一种“题在考卷，根在书内”的感觉;从知识层面看，主要考查椭圆的标准方程、几何性质、焦点三角形的面积、直线与椭圆的综合问题，以及动态直线定值（定角）等知识;从能力层面看主要考查学生运算求解、思考探究、逻辑推理等方面的能力，突出考查数学运算、逻辑推理、数学抽象等素养;试题的思维过程和运算过程体现了能力立意的命题思想，较好地体现了对直线与圆锥曲线的核心内容和基本思想方法的考查，亦较好地检测考生的数学素养和学习潜能.

■解法探究

（1）椭圆C的标准方程为■+■=1，过程从略.

（2）解法1：联立■+■=1，y=kx+m，化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0.因为直线l与椭圆相切，所以Δ=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）=0，即m2=4k2+3. 由题意可知l■：x=-2，l■：x=2，所以P（-2，-2k+m），Q（2，2k+m）. 因为F■（-1，0），F■（1，0），所以■=（-1，-2k+m），■=（3，2k+m），■=（-3，-2k+m），■=（1，2k+m），于是■·■=■·■=-3+m2-4k2=0，从而■⊥■，■⊥■，即∠PF■Q=∠PF■Q=■.

评注：解法1是比较自然的解法，先联立直线与椭圆，再利用相切条件建立参数m，k的关系式，然后利用向量数量积求得特殊角，解题思路较为常规，计算相对复杂，对学生的运算和推理论证能力要求较高.

解法2：联立■+■=1，y=kx+m，化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，因为直线l与椭圆相切，所以Δ=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）=0，即m2=4k2+3. 由题意可知l■：x=-2，l■：x=2，所以P（-2，-2k+m），Q（2，2k+m）.设以PQ为直径的圆的圆心为M，易知M坐标为（0，m），于是x2+（y-m）2=■=4+4k2. 又因为m2=4k2+3，从而x2+（y-m）2=1+m2，当y=0时，得x=±1，即F■（-1，0），F■（1，0）在圆M上，故∠PF■Q=∠PF■Q=■.

评注：注意到所证的定角是直角，先刻画出以PQ为直径的圆的方程，再验证两焦点在圆上;解法2巧妙地借助圆周角来解决，促进了知识之间的融通和迁移，提升了学生的思维和问题解决的能力.

解法3：设直线l与椭圆相切的切点坐标为（2cosθ，■sinθ），则直线l的方程可设为■x+■y=1，从而P-2，■，Q2，■. 因为F■（-1，0），F■（1，0），所以■=-1，■，■=3，■，■=-3，■，■=1，■，于是■·■=■·■=-3+■·■=0，所以∠PF■Q=∠PF■Q=■.

评注：本解法借助椭圆的参数方程设切点坐标，利用切点表示切线方程，然后求得P，Q两点坐标，通过坐标运算得出定角为直角，相比较解法1，都是利用向量积解决，但是本题利用椭圆的参数方程有效地避开联立方程带来的复杂运算，达到化繁为简的效果.

解法4：设直线l与椭圆相切的切点坐标为（2cosθ，■sinθ），于是直线l的方程为■x+■y=1，从而P-2，■，Q2，■，A■P·A■Q=■·■=3，A■F■·A■F■=（a-c）（a+c）=b2=3，所以A■P·A■Q=A■F■·A■F■，即■=■.

又因为∠PA■F■=∠QA■F■=■，所以△PA■F■∽△F■A■Q，于是∠A■PF■=∠A■F■Q，所以∠A■F■P+∠A■F■Q=∠A■F■P+∠A■PF■=■，故∠PF■Q=■，同理∠PF■Q=■，于是∠PF■Q=∠PF■Q.

评注：解法4先借助椭圆的参数方程设切点坐标来表示切线方程，求得P，Q两点坐标，进而计算相关的线段长度，接着通过由两个三角形相似证明两角相等，巧妙借助平面几何性质解题，需要学生有较好的读图、识图能力.

对于证明定值、定角（如本题中90°）问题，通常的做法是可以通过一条特殊直线算出这个角是90°，然后利用以下的方法证明：PF■⊥QF■？圳k■·k■=-1？圳■·■=0？圳F■在以PQ为直径的圆上. 相比较而言解法3通过椭圆的参数方程表示点的坐标，利用向量来证明所求角为直角，巧妙地避开繁杂的运算，在今后解决类似问题中值得推广.

■推广结论

一道好的试题的研究价值不应仅仅停留在解法上，还应该对试题本身做深入的探究，挖掘深层次的内涵，揭示数学本质;通过上述解法探究，我们发现试题中直角只是一个特例，还可以将结论拓展到更一般的情形：

结论1：如图2，椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A■，A■，过A■，A■分别作x轴的垂线l■，l■，直线l与椭圆C相切于M点，且与l■，l■分别交于P，Q两点，点N（n，0）（n≠±a）为长轴A■A■上一定点，则有（1）k■·k■=■;（2）A■P·A■Q=b2.

证明：（1）设切点M坐标为（acosθ，bsinθ），则切线l的方程为■x+■y=1，从而有P-a，■，Qa，■，于是k■·k■=■·■=■.

（2）A■P·A■Q=■·■=b2.

当N点为椭圆焦点时，k■·k■=■=-1，则F■P⊥F■Q，F■P⊥F■Q，即上述考题的结论.

由于椭圆和双曲线都是有心二次曲线，横向类比可得以下结论：

结论2：双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右顶点分别为A■，A■，过A■，A■分别作x轴的垂线l■，l■，直线l与C相切于M点，且与l■，l■分别交于P，Q两点，点N（n，0）（n≠±a）为实轴A■A■上一定点，则有（1）k■·k■=-■;（2）A■P·A■Q=b■.

？摇由于抛物线y2=2px（p>0）是无心二次曲线，通过探究可得到以下结论：

结论3：如图3，直线l与抛物线y2=2px（p>0）相切于點M，与y轴交于P点，N（n，0）为x轴上一点，则k■·k■=-■.

证明：设切点M坐标为（x■，y■），则切线l的方程为yy■=p（x■+x），于是P0，■，则k■·k■=■·■=-■= -■=-■. 当N点为抛物线焦点时，k■·k■=-■=-1，则NP⊥MP.

■探本溯源

上述结论从椭圆到双曲线再到抛物线进行了一般化探究;那么为什么会有这些结论呢？我们知道椭圆和圆有着紧密的联系，它们有很多相似的性质，该结论的探究源于圆的一条经典性质：

结论4：如图4，A■A■是⊙O：x2+y2=r2的直径，过A■，A■分别作x轴的垂线l■，l■，直线l与⊙O相切于M点，且与l■，l■分别交于P，Q两点，点N（n，0）（n≠±r）为直线A■A■上一定点，则有（1）k■·k■=■;（2）OP⊥OQ;（3）A■P·A■Q=r2.

证明：（1）设切点M坐标为（rcosθ，rsinθ），则切线l的方程为cosθ·x+sinθ·y=r，从而有P-r，■，Qr，■，于是k■·k■=■·■=■.

（2）由（1）可知当N为坐标原点时，k■·k■=■=-1，即OP⊥OQ.

（3）A■P·A■Q=■·■=r2.

■拓展应用

例：已知椭圆C：■+■=1（a>b>0），设直线l：x=ty+λ是椭圆的一条切线，两点M（-2，y■），M（2，y■）在切线l上. （1）若P■（1，1），P■（0，1），P■-1，■，P■1，■恰有三点在椭圆C上，求椭圆的标准方程;（2）在（1）的条件下，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.

解：（1）椭圆的方程为■+y2=1;（2）由上述结论易知以MN为直径的圆恒过椭圆的两焦点（±■，0）.

■教学思考

数学家波利亚曾说过：“掌握数学就意味着善于解题”. 引导学生学会解题是数学新课标中教学的重要组成部分;数学问题的解决仅仅是一个开端，更重要的是解题后的反思与回顾;遇到一道经典题目，需要从多角度、深层次探求其解法，从不同的思维角度分析同一道试题，可以得到不同的解法，从数学知识本身的角度看，可以发现知识之间的相互联系，体会转化的过程，还可以构建知识网络体系，从而学生在学习过程中不仅掌握了基本的解题技能，还培养了思维的深刻性、灵活性及创新性，让学生对学习内容有一个整体认识，并将知识融会贯通，举一反三，活跃思维，学生的能力素养在潜移默化中得到提升.

复习备考中我们也经常听到不同的声音：高三课堂上搞一题多解，会不会耽误学生的复习进度，有些解法需要讲吗？需要给学生讲解一般化探究吗？这些质疑不无道理，如果我们抛开学生展示解法，孤芳自赏，这样的课堂效果可见一斑;虽说不是所有的题目都适合一题多解，也并非所有的学生都适合一题多解，但是最根本的要因材施教，以学定教，多关注学生的表现和感受，讲解时应充分关注学情. 不同时期，不同学生，我们所讲授的侧重点应有所区别，比如在高三二轮复习备考中，学生通过一轮复习已经掌握解题的通性通法，我们应尽可能多地传递解题思路、渗透思想方法、揭示问题本质.让我们的课堂多一点理性的思考，少一些套路的模仿，引导学生多视角审视各种新问题，启发学生思考，把握数学问题的本质，从而更好地促进学生数学素养的提升.