习题变式教学在高中数学课堂中的有效应用

许树森

[摘  要] 习题变式教学就是以课本例习题为指引，通过习题的变式，帮助学生富有创造性地思考数学问题，以达到善于解题的目的. 文章通过实例具体说明数学习题变式的方法，并提出习题变式需基于课本，却又超越课本;需循序渐进，恰到好处地发展思维;需注重张弛有度，提升核心素养，进而实现数学习题变式教学的价值.

[关键词] 高中数学;习题变式;思维;核心素养

■问题的提出

数学是以研究规律为主旋律的一门科学，毋庸置疑，习题教学具有学科所在的规律及本质属性，也就是数学本质. 新课程理念倡导“把握数学本质，启发思考，改进教学”. 在习题教学中，把握数学本质就是以数学问题的本源为指引，通过习题的变式，引领学生共同探究数学问题的规律与根本属性，从而帮助学生富有创造性地思考数学问题，以达到善于解题的目的.

查阅历年高考试卷不难看出，近几年高考试题源于课本却又高于课本，也就是教材例习题的变式，那么，如何进行习题的变式成了数学教师需要研究的问题. 笔者认为，教师需精选课本例习题，以考为纲，使其审视课本习题，超越课本习题，始终围绕教材进行变式教学，使习题教学以学引思. 这才是真正领悟了课本，用活了课本，真正关注到学生的思维发展和数学素养.

■习题变式的设计

一方面，在新课程实施中，偏重于以优质的教材资源培养创新能力，素材需要教师精挑细选，源于这些素材的变式教学活动具有举足轻重的意义;另一方面，从某种程度上来说，数学习题变式教学，尤其是针对高考复习这种关键时期，过程需充分发挥教学“指挥棒”的功效，以渗透数学思想方法为指引，以提升思维能力和解题能力为目标，而不能游离于该体系之外.

原题1：尝试画出函数f（x）=x2-5x+6的图像，并据图像说一说函数y=f（x）的单调区间，以及各单调区间上函数y=f（x）为增函数还是减函数.

方案1：条件特殊化.

所谓“条件特殊化”，就是变原题中的一般性条件为特定性条件，从而令题目更具特殊性，以达到考查特定概念的效果. 如原题进行如下变式：

变式1：嘗试画出函数f（x）=x2-5x-6的图像，并据图像说一说函数y=f（x）的单调区间，以及各单调区间上函数y=f（x）为增函数还是减函数.

设计意图：数形结合加强了知识的融合度，帮助学生多角度认识和理解绝对值概念和一元二次方程. 这里从问题的特殊性入手研究问题，符合学生认识的一般规律，利于创新能力的发展.

方案2：改变习题的背景.

改变习题的背景就是不改变原题中的某些条件，另一些条件的背景和形式稍作演变，即可为习题增添难度，为学生的解题留下回味的余地，为学生提供深入探究的舞台，自然提升学生的创新能力.

变式2：尝试画出函数f（x）=x2-5x-6的图像，并据图像说一说函数y=f（x）的单调区间，以及各单调区间上函数y=f（x）为增函数还是减函数.

设计意图：以上变式双管齐下，考查学生对函数图像以及偶函数的定义与性质的掌握情况，使其对函数的认识进一步丰富与深化.

变式3：试求出函数f（x）=x2-5x-6在区间[-3，5]上的最值.

变式4：试求出函数y=log■（x2-5x-6）的单调区间.

设计意图：教师设计以上常规性变式练习，强调解决问题的角度可以多样化，可以作图解析，也可以以数学方法求解，不同方法和角度的求解可以反映思维策略水平，利于学生的全面发展.

原题2：已知数列{an}，有a■=1，当n≥2时，若an-an-1=5，则有数列{an}为等差数列，试写出数列{an}的通项公式.

变式1：已知数列{an}，当n≥2时，若a■=1且a■-a■=n，求该数列的通项公式.

解析：将原题中的等差数列的常数d转变为变量n，那便不再是等差数列，此处可以通过叠加法求解得出该数列的通项公式.

当n≥2时，？摇an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+（n-2）+2+1？摇=■.

同样的，深化变式1的难度，则有：

（1）已知数列{an}，满足a1=1，an-a1-1=3n-1（n≥2），求该数列的通项公式.

（2）已知数列{an}，满足a1=3，an-an-1=■（n≥2），求该数列的通项公式.

变式2：已知数列{an}中，当n≥2时，若a1=1且an-can-1=d，求该数列的通项公式.

解析：当c=1时，数列{an}为等差数列;

当c≠1，d=0时，数列{an}为等比数列;

当c≠1，d≠0时，可构造等比数列求解，方法如下：

设an+1+λ=c（an+λ），可得an+1=can+（c-1）λ.

与题设an-can-1=d比较系数，可得（c-1）λ=d，所以λ=■（c≠0），所以有an+■=can-1+■.

所以，数列an+■构成以a1+■为首项，c为公比的等比数列.

所以an+■=a■+■cn-1，即an=a■+■cn-1-■.

变式3：已知数列{an}中，若a■=1且an+1-can=qn+1，求该数列的通项公式.

解析：当c=1时，与变式1形式相同，同样可用叠加法求解得出该数列的通项公式;

当c≠1时，可通过构造等比数列求解得出该数列的通项公式，方法如下：

an+1-can=qn+1变式为an+1=can+qn+1，等式两边同时除以qn+1，即可化为■=■·■+1. 令■+t=■■+t，再与原始比较系数，并求出待定t，构造出■+t为等比数列，公比为■，t=■.

设计意图：运用变式训练的灵魂在于基础知识的巩固，精髓在于渗透常规解题思路和创造性解题思路，获得简捷的解法，训练分析和解决问题的能力，以达到能力与方法层面上的可持续性发展.

■习题变式教学的几点注意点

1. 基于课本，却又超越课本

课本是专家和学者们仔细钻研并精心编写而成的，课本中的例习题都是精心挑选的. 在习题变式教学中，我们不能满足于把原题抛给学生，而是要基于课本，而又超越课本，把例习题以动态的方式呈现和复活，根据学生的具体学习需求，或延伸拓展，或变式训练等，真正意义上关注学生的思维路径，让学生的思维在拉长的“问题链”中浅入深出，让数学思维在持续不断的训练中深化.

2. 循序渐进，恰到好处地发展思维

同时，对习题的变式需注意纵向推进，循序渐进地加大难度，使思考坡度层层深入，使学生积极思维，恰到好处地发展学生的思维.

原题3：一动圆M与圆C1：（x+2）2+y2=1外切，与圆C2：（x-2）2+y2=9外切，试求出该动圆圆心M的轨迹方程.

变式1：已知一个坐标原点为圆心，半径为2的圆，从该圆上任意一点P向y轴作垂线PP1，P1为垂足，试求出线段PP1的中点M的轨迹.

变式2：已知圆C1：（x+2）2+y2=1与圆C2：（x-2）2+y2=9，若有一动圆M同时与圆C1和C2外切，则该动圆圆心M的轨迹是什么？

變式3：已知圆C1：（x+2）2+y2=1与圆C2：（x-2）2+y2=9，若有一动圆M同时与圆C1和C2内切，则该动圆圆心M的轨迹是什么？

设计意图：上述三个变式将常规题转变为探究题，教师的变式基于学生的思维，学生的解题围绕思维，学生可以多角度地运用发散思维去分析，加深了学生对此类问题的理解和认识.

3. 注重张弛有度，提升核心素养

习题变式教学要把学生的核心素养渗透到各种习题课中. 在新授课中，变式需与本节课的教学内容相融合，发展学生的数学建模和想象能力;在习题课中，变式需与本章节的教学内容相结合，渗透数学思想方法，培养学生的数学抽象和推理能力;在复习课中，变式不仅需密切联系考试大纲，还需渗透数学思想方法，培养学生的分析能力和数学抽象. 习题变式是教师基于教学目标和学习现状，注重张弛有度，通过不断变化问题，激发学生的探究兴趣，旨在提升学生的数学素养.

总之，习题变式是一种技艺，在于它的“火候”，要善于掌握火力;在于它的“节律”，要善于分轻重和快慢;在于它的“深度”，顺着学生的思维前进. 教师只有对课本知识透熟于胸，对学习现状了如指掌，才有可能做到掌握变式的火候、节律和深度，激发学生的探究兴趣，提升解题能力，培养数学核心素养.