基于数学核心素养的探究性教学的反思

王晓燕

[摘  要] 研读教材，精选探究主题，通过设计延伸探究、逆向探究、类比探究、实验探究等方法，建构探究性教学，提升学生课堂复习效率，培养学生的数学思维，提升学生的数学核心素养.

[关键词] 数学核心素养;探究性教学

培养和提升学生的数学核心素养，是数学教育价值的一个重要体现，它标志着学生在数学学习方面是否获得良好教育. 因此，作为一线数学教师，积极探索提升数学核心素养的方法，寻找提升核心素养的途径，是我们每个数学教师肩负的责任和重担.

苏联数学教育家Yuri Oganessian（尤里·奥加涅相）在《中学数学教学法》中指出：“必须重视，很多习题潜藏着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性……”然而，在现实教学中，大多数教师擅长将教材知识进行整合，他们只是教材的搬运工，他们用教材，并没有深刻挖掘教材的隐性知识，也没花时间去仔细研究教材习题的地位和作用，更没有研发例题、习题的相关资源，从而浪费了很多宝贵的教学素材，导致教学效率不高. 我们知道，课本例题、习题都是数学专家精心编撰的，符合中学生的心理特点和生理成长特点，也是学生学习接触最多的最有代表性的素材. 教材开发专家博众家之长，精心钻研，仔细推敲，精心编写，才形成今天的系统教材. 研读教材，深度挖掘教材例题、习题的功能，设计探究教学，不仅能培养学生的数学思维，更能提升学生的数学核心素养.

在人教版选修2-1第二章“圆锥曲线和方程”的“习题2.4”中，教材安排了一道关于“抛物线中的直角问题”的习题. 考虑到所带班级为重点中学的实验班学生，有一定的学习基础和学习能力;与此同时，又是复习课，难度可以适当放大. 因此，在实际教学中，笔者本人立足教材，仔细研究教材习题，设计了一堂围绕“圆锥曲线中的垂直问题”的探究性教学，效果颇好，在此分享，供大家参考. 若有不当之处，请多多指教.

■原题的呈现及解答

问题呈现：设直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，求证：OA⊥OB.

问题解答：

方法1：联立y=x-2，y2=2x，得x2-6x+4=0.

所以A（3-■，1-■），B（3+■，1+■）.

所以k■·k■=■×■= -1，所以OA⊥OB.

方法2：在方法1的基础上，运用斜率来解决垂直条件.

由韦达定理得x■+x■=6，x■x■=4.

所以y■y■=（x■-2）·（x■-2）=x■x■-2（x■+x■）+4=-4.

所以k■·k■=■.■=-1，所以OA⊥OB.

方法3：在方法1的基础上，运用向量知识来解决垂直条件.

设点A（x■，y■），B（x■，y■），则■=（x■，y■），■=（x■，y■）.

？摇？摇所以■·■=x■x■+y■y■=4-4=0，所以OA⊥OB.

■构建探究过程

1. 延伸探究

其实，如果我们仔细研究直线方程和抛物线方程，不难发现，抛物线的标准方程中，焦点到准线的距离为p=1，直线过定点（2，0），定点的横坐标恰好为焦点到准线的距离的两倍. 于是，我们可以大胆地猜想，引导学生把问题结论延伸到一般性的问题，从而得出以下结论.

變式1：若直线y=x-2p与抛物线y2=2px（p>0）相交于点A和点B，求证：OA⊥OB.

证明：将y=x-2p代入y2=2px中，得（x-2p）2=2px，即x2-6px+4p2=0.

方法1：解方程得A（（3-■）p，（1-■）p），B（（3+■）p，（1+■）p）. ？摇？摇？摇？摇 因为k■·k■=■×■=-1，所以OA⊥OB.

方法2：由韦达定理得x■+x■=6p，x■x■=4p2，

所以y■y■=（x■-2p）·（x■-2p）=x■x■-2p（x■+x■）+4p2=-4p2，

所以k■·k■=■.■=-1，所以OA⊥OB.

方法3：设点A（x■，y■），B（x■，y■），则■=（x■，y■），■=（x■，y■），

所以■·■=x■x■+y■y■=4p2-4p2=0，所以OA⊥OB.

2. 逆向探究

教学中，我们不能局限于自己的固有思维，完全可以尝试打破惯性思维的束缚，通过设置逆向探究，帮助学生从另一个角度认识问题，引导学生对例题进行探究，把握问题的本质. 试想：如果以问题的结论为出发点，进行逆推，会有什么发现呢？于是，我们又可以得出以下结论：

变式2：直线AB与抛物线y2=2px（p>0）相交于A，B两点，若OA⊥OB，求证：直线AB过定点（2p，0）.

证明：设直线AB：y=kx+b（b≠0），代入抛物线y2=2px，得（kx+b）2-2px=0，即k2x2+（2kb-2p）x+b2=0.

由韦达定理可得：x■+x■=■，x■x■=■.

所以y■y■=（kx■+b）·（kx■+b）=k2x■x■+bk（x■+x■）+b2=■.

因为OA⊥OB，所以■·■=x■x■+y■y■=■+■=■=0.

所以b+2pk=0，所以b=-2pk.

所以直线AB过定点（2p，0）.

3. 类比探究

我们知道，圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线有着相似密切的关系，它们在定义、标准方程、简单几何性质等方面都有一定相似，于是在教学中，我们可以适当设置类比迁移、猜想与论证，引导学生进行探究. 譬如，对于上述问题，我在实际教学中，引导学生进行类比探究后，发现还有如下结论：

变式3：点P（-a，0）为椭圆■+■=1（a>b>0）的左顶点，过点P作互相垂直的弦PA和PB，求证：直线AB必过定点■，0（e为椭圆的离心率）.

证明：设直线AB：y=kx+m（m≠0），代入椭圆■+■=1，得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0.

由韦达定理可得x■+x■=-■，x■x■=■（？鄢）.

因为PA⊥PB，所以■·■=（x■+a）（x■+a）+y■y■=0，

即（1+k2）x■x■+（a+km）（x■+x■）+a2+m2=0.

将（？鄢）式代入并整理得m=■=■，所以直线AB过定点■，0.

变式4：点P（a，0）为双曲线■-■=1（a>0，b>0）的右顶点，过点P作互相垂直的弦PA和PB，求证：直线AB必过定点■，0（e为双曲线的离心率）.

证明：设直线AB：y=kx+m（m≠0），A（x■，y■），B（x■，y■），代入双曲线■-■=1，得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0.

由韦达定理可得x■+x■=■，x■x■=■（？鄢）.

因为PA⊥PB，所以■·■=（x■-a）（x■-a）+y■y■=0，

即（1+k2）x■x■+（km-a）（x■+x■）+a2+m2=0.

将（？鄢）式代入并整理得m=-■，所以直线AB过定点■，0.

4. 实验探究

在变式3中，PA，PB过椭圆■+■=1的左顶点P（-a，0）时，直线AB过点■，0;引导学生分析，“定点”和“顶点”之间是否有联系？如果“顶点”变成椭圆上任意一点P（x■，y■），则直线AB还过定点吗？于是，笔者通过设计数学实验，借助几何画板，让学生动手体验，从而得出以下结论.

变式5：过椭圆■+■=1（a>b>0）上任意一点P（x■，y■）作两条互相垂直的弦PA和PB，则直线AB必过定点■x■，-■y■（证明类似定理1）.

同理，类比到双曲线和抛物线中，我们还可以得出以下两个结论：

变式6：过双曲线■-■=1上任意一点P（x■，y■）作两条互相垂直的弦PA和PB，则直线AB必过定点■x■，-■y■.

变式7：过抛物线y2=2px（p>0）上任意一点P（x■，y■），作直线PA，PB交抛物线于A，B两点，若PA⊥PB，则直线AB必过定点（x■+2p，-y■）.

■探究性教学反思

1. 仔细研读教材，精选探究主题

在实际教学中，尤其是复习课教学中，部分教师认为：教材内容过于基础，过于简单，部分内容根本达不到高考考试大纲的要求，于是选择脱离教材，完全信奉那些所谓的名师权威参考书，在不知不觉中拔高了我们的教学要求，从而让学生陷入了题海战术. 如此一来，学生的学习任务加重了，长此以往，可谓身心疲惫，学习积极性严重受到打击，使得学生谈“数”色变. 其实，笔者个人认为，教材是教与学的最具权威的“辅导书”，是生成数学思维的阵地，是形成数学思想方法的利器. 殊不知，我们很多的高考题的设计和构思就是来源于教材，它们有的是教材习题的引申，有的是例题、习题的变式，有的是例题、习题的重组，有的是例题、习题的变式. 其实，如果学生能真正吃透课本，全面系统掌握教材上的知识和方法，从应试的角度来讲，学生的基础扎实，学习能力和学习水平也有，高考成绩自然也不会差. 因此，教师在平时的教学中，要仔细研究课本中的例题、习题，精选并探究主题，学会“小题大做”，由易至难、由点到面，引导学生进行探究性学习;另外，教师完全可以放大课本的教学价值，实现教材效益最大化，这对培养学生的数学核心素养大有帮助.

2. 设计例题变式，开展探究学习

当代著名的苏联教育家苏霍姆林斯基曾说过：“在人的心灵深处，都有一种需要，希望自己是一个发现者、研究者和探索者.” 心理学研究表明，学生主动学习的内驱力来自好奇心与求知欲. 与常规复习课（总结知识点，讲解例题，巩固练习）相比，探究性学习更容易点燃学生思维的火花. 在探究主题明确的情况下，教师合理设计教学，如设置推广探究、逆向探究、类比探究、實验探究等方法，开展探究性学习，学生通过对基本问题的解决，不仅可以形成这类问题的解题思路，还可以掌握此类问题的解决方法;更有甚者，还会根据题目条件和解题目标进行巧妙地转化，并抽象形成典型的数学模型，做到有章可循，有法可依，行之有效. 笔者认为，学生通过对典型问题的探索，根据自己的亲身体验尝试解决问题，从而形成解题能力. 不仅可以激发学生的探究欲望，提高学生的数学学习兴趣，还可以开拓学生的数学思维，唤醒学生的创新意识，培养学生的创新能力，提升学生的数学学习素养.

3. 小组分工合作，丰富探究形式

我们知道，物理、化学、生物等自然学科，很多知识跟生活密切相关，有很多教学素材，可以通过做实验，设计一系列探究性的学习. 但是对于数学学科而言，探究性教学实施起来要相对困难一些，不过教师利用自身专业知识和积累的教学素材，设计一些与学生日常学习紧密相关的解题类研究活动，还是比较容易的. 为了让数学探究性活动更有意义，能最大限度地调动学生学习的积极性，我们可以在组织形式上进行大胆尝试，如开展小组合作探究学习，实践证明效果很好. 具体操作如下：（1）策划学习小组. 笔者通常按照一定的方式，将学生分成几个小组，各小组成员推荐一名组长，实施组长责任制，组长负责督促、分工以及老师沟通等一系列工作. （2）教师协助并参与各小组的学习. 由于每个小组成员不同，学习基础不同，学习能力不同，感兴趣的研究主题不同，所以教师要对各小组的能力进行评估，根据各小组的特点，结合自己的教学需要，提供一些探究主题，分享一些教学素材，指导各小组合理选择. （3）小组确定研究主题. 各小组成员通过查阅课外辅导书，借助网络，查阅与专题相关的资料，并做好材料分析工作，提炼解法，总结规律，形成讲稿. 在此期间，教师适时参与，适当点拨，给予指导. （4）小组试讲. 为了让各小组展示得更充分，教师安排各小组试讲是非常必要的. 不仅可以了解各小组探究时期所存在的问题，还有利于教师对各问题宏观把控. （5）小组展示. 采取抽签形式，确定各小组在班级中展示的顺序，这种方式不仅丰富了探究的形式，还让探究学习更具体，更有针对性. 因为学生经过自主研究、合作学习、公开展示等过程，体验了探究过程，解题思路和方法领悟得更深刻.

4. 革新教育观念，明确探究价值

目前，不少教师对开展探究性教学，还心存疑虑，认为开展一堂探究性学习会占用学生不少课外的学习时间，教师费心费力，效果也未知. 但笔者认为，学习本身就是一个过程，在过程中体验成功，在过程中开发数学思维，在过程中激发学习兴趣，效果更明显，影响也更深远. 万事开头难，“费心费力”也是值得的. 从长远来看，探究性学习对培养学生的数学学习能力、对提高学生的思维品质、对提升学生的学习兴趣等大有帮助. 总之，探究性学习不仅能提高学生的自学能力，调动学生学习的积极性，培养学生合作交流的能力，还能激活学生的数学思维、培养学生的创新意识，提升学生的数学核心素养.

最后，笔者认为，提升学生的数学核心素养关键在于学生思维能力的培养，而探究性教学改变了传统的教师传授知识的教学方式，为学生构建了开放的学习平台，激发了学生的创新意识，有利于培养学生的数学思维，提升数学核心素养.