问题导向驱动能力养成，自主探索落实素养生根

李其龙

[摘  要] 文章对平面向量基本定理课堂教学进行反思与重构. 从落实数学素养出发，在教师的问题导向驱动下，让学生进行作图操作，层层深入地探究问题. 让学生从被动接受数学概念转向自主探索数学概念，经历和体验概念的产生和完善过程从而提高数学能力，进而达到数学核心素养落地生根的目的.

[关键词] 课堂教学;问题导向;自主探索;素养生根;反思;重构

■引言

新的教学形势下，如何能够让学生从被动接受数学概念转向自主探索数学概念，经历和体验概念的产生和完善过程从而提高数学能力？如何在课堂教学中体现数学素养的渗透和落实？

下面是笔者以平面向量数量积课堂教学为例，对上述问题进行的反思和重构.

■平面向量基本定理课堂教学的若干反思与思考

1. 关于问题情境的反思和思考

向量具有丰富的实际背景，是重要的数学模型和物理模型. 那么，学习数学模型的最好办法是经历数学建模过程[1]. 但是，很多教师不重视课本上的物理背景引入，或者直接跳过这一环节直奔定理内容，这使得学生错过一个用数学的眼光观察世界的机会，更谈不上提高学生发现和提出问题的能力. 纵观平面向量整章内容，几乎每节内容起始部分都有一个实际的物理背景问题，在例题中也反复出现实际的物理问题，这也在提示我们：在实际教学中，要引导学生对现实原型进行观察，充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用. 所以，引导学生根据生活经验，从火箭升空的速度分解，结合力的分解的平行四边形法则，提出“平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示”这一问题，是本节内容最好的问题情境.

2. 关于定理抽象过程的反思与思考

平面向量基本定理是高中数学核心概念之一[2]，是把一维的向量共线定理向二维平面的推广，也是后面将要学习的三维空间向量的学习基础，处理得当对向量相关内容的学习和研究有纲举目张的作用.

教师满堂灌式的讲解，学生死记数学概念和机械模仿做题固然也能让学生掌握定理，但是缺少学生参与的课堂是没有灵魂的. 只有让学生真正参与课堂研究，进行自主探索数学概念，经历和体验概念的产生及完善的过程才能提高数学能力，进而达到数学核心素养落地生根的目的.

此前，学生对于向量加减法及数乘运算停留在几何直观上，从几何图形认识到代数符号认识需要一个过程. 通过问题驱动，让学生进行数学探索，通过自己动手做数学，培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改善数学学习信念，提高学生学习数学、研究数学的能力. 这也是让学生用数学的思维去分析问题，用数学的语言去表述问题的过程.

基于上述思考，笔者尝试通过对物理现象的几何直观认识出发，层层设问，步步深入，展开对平面向量基本定理的探究，让学生在自主探索过程中体会数学定理的产生，体验定理所蕴含的思想，感受数学思维的形成来落实数学素养.

■平面向量基本定理课堂教学的重构片段实录

片段一：问题情境引入

播放火箭升空短视频，让学生思考两个物理现象和一个数学问题.

两个物理现象：（1）火箭升空的某个时刻，火箭的速度可以分解成豎直向上和水平向前的两个分速度;（2）力的分解，一个力可以运用平行四边形法则分解成两个不共线方向上的力的和.

上面两个现象都是从几何直观上说明，向量可以分解成两个不共线的向量，两个不共线向量可以合成一个向量，这些在向量的加法及向量加法的平行四边形法则中有所体现.

问1：那么代数方面，我们能用数学符号表述上述现象吗？

问2：（数学问题）平面内，任意一个向量能否用两个不共线的向量来表示呢？

我们知道，向量可以用一条有向线段表示，这样，我们既可以从形的角度研究向量，又可以从数的方面研究向量.

请大家在坐标纸上画一个向量a，再作出a乘2和-2所得的向量c和d.

（1）学生在平面上任意画一个向量a，再作出a乘一个数所得的向量.

（2）任意画出一个与a不共线的向量b.

学生动手作图并在教师的引导下复习向量共线定理.

问3：实数m乘非零向量a可以得到与a共线的所有向量吗？

生：可以.

问4：能用数学语言描述这一过程吗？

学生叙述向量共线定理，教师板书.

问5：向量b是否可以用向量a表示？

生：不可以.

片段二：学生动手探索，通过做数学来体验定理的产生过程

师：我们先研究下面的若干问题，首先在复习引入的作图基础上完成下面任务.

作图：

（1）2a+b; （2）-2a+b;

（3）2a-b; （4）-2a-b.

问6：上述问题推广到一般，ma+nb合成的向量唯一吗？

问7：若通过取m和n的不同值，ma+nb可以合成平面内任何一个向量吗？

教师用几何画板软件演示向量ma+nb的合成（如图1），并让学生自己通过拖动改变m，n的值观察向量合成的追踪痕迹.

探索结果一：通过取m和n的不同值，ma+nb可以合成平面内任何一个向量.

问8：逆向思考一下，任何一个向量是否可以分解到向量a和向量b的方向上呢？

通过几何画板的作图演示，学生思考并讨论该问题.

探索结果二：在同一平面内，任意一个向量c都可以分解成两个分别在向量a和向量b方向上的向量.

问9：上述几何现象，用代数符号表示是什么样子？

生：c=λ1a+λ2b.

问10：上式中，a与b的系数λ1，λ2是否唯一？

生：由向量共线定理可知，在a和b方向上分解的向量是唯一的，故系数λ1，λ2是唯一的.

探索结果三：在同一平面内，任意一个向量c都可以分解成两个给定向量a和b方向上的向量，分解是唯一的，用代数符号可以表示为：c=λ1a+λ2b，且λ1，λ2是唯一的一组数.

问11：平面上，任意一个向量c能用任意两个不共线的向量表示出來吗？

请学生分组自行探索：一位学生画出一个向量a和任意两个不共线的向量e1，e2，请组内其他学生进行作图分解. 完成后，进行角色交换，再次进行相关探索.

探究结果四：在同一平面内，任意一个向量a都可以分解成两个不共线的向量e1，e2方向上的向量，分解是唯一的，用代数符号可以表示为：a=λ1e1+λ2e2，且λ1，λ2是唯一的一组数.

问12：两个向量e1，e2为何要求不共线呢？请同学们讨论，并结合前面的探究结果进行总结，回答本课开初提出的问题.

生：（1）向量e1和向量e2都为0时不成立. （2）向量e1和向量e2恰有一个为0时，退化为共线向量基本定理. （3）向量e1和向量e2都不为0时，若λ1=0，λ2=0，λ1e1+λ2e2表示0;若λ1与λ2仅有一个为0，退化为共线向量基本定理;一组（λ1，λ2）唯一确定一个向量c.

探究结果五：同一平面内，任意一个向量可以用两个不共线的向量来表示.

类比向量共线定理的符号表示，上述内容用符号语言表述为：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2（平面向量基本定理生成）.

■课堂重构后的思考

在重构后的课堂教学中，经历了从物理现象到数学问题，从几何直观到代数抽象. 学生自己动手做数学，选用坐标纸作图，教师通过几何画板动画演示向量ma+nb的合成，学生通过拖动改变m，n的值观察向量合成的追踪痕迹，再到任意的分解. 学生进行观察和自己动手参与计算机操作，从视觉和思维上都受到了冲击. 在问题导向的驱动下，分阶段引导学生从几何直观探索平面内任意向量的分解，在探索结果的基础上用代数符号语言进行表述，再对符号语言进行深入的推敲，直至概念的形成. 在探索过程中体会数学思维形成，体验定理所蕴含的思想，感受数学符号语言的魅力，经历从几何直观到代数抽象的升华. 让学生从被动接受数学概念转向到自主探索数学概念的生成. 学生从经历和体验概念的产生及完善的过程中提高数学能力，进而达到数学核心素养落地生根的目的.

数学的大厦不是一天建成的，数学知识的生成是有迹可寻的. 在课堂教学中，要让学生感受到：数学不是高不可攀、与生俱来的，是与人类生活和社会发展紧密相连的. 可以通过运用基础知识、基本技能、基本思想进行探究，在探究的经历中获得基本活动经验，在活动经验基础上提升自己的数学素养.

参考文献：

[1]  单墫. 高中数学教学参考书（数学4）[M]. 南京：江苏教育出版社，2012.

[2]  程仕然，蒋智东. 苏教版《普通高中课程标准实验教科书（必修）数学》中核心概念认知情况的调查报告[J]. 数学教学通讯，2019（15）.