课堂教学中要重视直观想象素养的落实

王莎莎

[摘  要] 高中数学课堂教学的最终目标指向是提升学生的数学核心素养，如何能将这一目标落实到日常课堂教学中，是高中教师面临的重大课题，不同的数学分支对学生数学核心素养提升的侧重点会有差异. 文章重点阐述了对“直观想象素养”的理解，并通过“基本不等式”第一课时的教学设计为例说明如何在课堂教学中有效落实直观想象素养.

[关键词] 几何直观;空间想象;直观想象素养;课堂教学

高中数学学科核心素养主要包含以下六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. 这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体. “直观想象”是由两个词“直观”与“想象”组合而成的，在以前的大纲中它们分别是“几何直观”与“空间想象”的简称. 它们既相互独立又存在一定的关系，从思维过程顺序看，应该“直观”在前，“想象”在后.那么这两者究竟存在什么样的关系？两个词合成一个词后又有什么内涵的变化？如何在教学中落实“直观想象”素养？这些都是我们应该理清的基本问题.

■何为直观想象

1. 直观与几何直观

数学家克莱因认为“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”;而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”;心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”.

徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是将相对复杂、抽象的问题“图形化”，利用图形描述问题，进而借助图形分析、解决问题.

上述可见，直观是一种感知，一种有洞察力的定势，直观的对象不一定是几何图形，而几何直观则注重对几何图形的感知.

2. 想象与空间想象

普通心理学解释：想象是人在头脑里对已储存的表象进行加工改造形成新形象的心理过程. “想象”并不是凭空生成的思维能力，比如先天聋哑人就不太可能想象出动听的音乐.

空间想象则是以现实世界为背景，基于对几何图形的运动、变换和位置关系的把握，对事物的几何表象进行加工、改造，甚至去创造新的空间想象.

由此可见，想象这一心理过程所形成的新形象也并不一定是空间图形，而空间想象所形成的新形象就是空间图形.

3. 核心素养中的直观想象

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中对“直观想象”核心素养的界定：“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养. 主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系，形态变化与运动规律;利用图形描述，分析数学问题;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路. ”■[1]

通过对上述三个名词“直观”“想象”“直观想象”比较分析，笔者对新课标提出的直观想象这一核心素养形成以下几点认识：

（1）直观想象是对几何直观、空间想象的融合与发展.分解开来，直观属于认识过程，想象属于认识方法;联系来看，想象可建立在直观的基础之上，视为直观的延伸，在直观后想象，通过想象能更好地提升对事物的认识，二者结合为一个连续性的整体.

（2）直观想象的内涵更为丰富，不再局限于几何图形，函数、向量、数列、不等式等问题都可以作为直观的对象、想象的素材.例如，“糖水加糖，糖水会变甜”，在这个实际问题中可以带给学生一直观想象，那就是当一个量在增大时，另一个量也会随之增大，从函数的性质来看就是函数单调递增. “如何用函数的性质表示这一现象”就是一个直观想象的过程■[2]. 同时，这个糖水浓度问题也很形象地证明了不等式■<■（a>0，b>0，c>0），从生活實际问题这一现象中抽象出数学不等式，这也是直观想象的过程.

（3）直观想象的目标要求更高，在能力方面它指向数形结合、几何直观、空间想象等三个能力;在意识方面它强调运用直观的手段以及借助直观展开想象去思考问题;在感悟事物方面，能借助数学直观，依托情境去感悟事物的本质.

■为何要重视直观想象素养的培养

（1）直观想象素养具有很高的学科价值和育人价值. 2017年版的新课标指出直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.在数学教学活动中，重视直观想象核心素养的培养，有助于学生提升自我观察发现的能力与数形结合的能力，有助于学生发展几何直观和空间想象能力;能更好地增强学生运用几何直观和空间想象思考问题的意识，提升在具体的情境中感悟事物的本质的能力.

（2）直观想象在数学学科核心素养体系中具有重要的地位，它与其他数学学科核心素养密不可分. 例如，在复杂的情境中发现和解决实际问题，通常需要通过直观想象对问题进行分析，探寻问题的实质，再通过数学抽象或数学建模将其转化为数学问题;在进行复杂的逻辑推理或数学运算中，需要通过直观想象来理清逻辑推理或数学运算的思路，探寻研究的方法与路径，将复杂的问题简单化;在进行大数据分析时，也需要通过直观想象将数据图表化，并利用图表和相关的统计方法对数据进行分析和处理■[3].

■如何在数学课堂中培养直观想象素养

史宁中教授在一文中说道：“数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确定依赖于推理，也就是说，在大多数的情况下，数学的结果是‘看出来的而不是‘证出来的，所谓‘看是一种直觉判断，这种直觉判断建立在长期的有效的观察和思考的基础上. 直观感知的能力是先天的，但一个好的直观感知能力的养成却是依赖于经验的.”■[4]史宁中教授在另一文中也指出：“直观不是‘教出来的，而是自己‘悟出来的，这就需要经验积累.”■[5]这些见解，对我们培养学生的直观想象这一核心素养有很好的指导意义.

师：很好，这位同學通过观察式子结构联想到等差数列与等比数列，于是基本不等式又可以描述为两个正数的等差中项不小于等比中项. 刚才生1看出■是a，b的算术平均数，但不知道■有什么含义，老师今天告诉大家，■叫作a，b的几何平均数，因此基本不等式可以描述为两个正数的算术平均数不小于几何平均数. （为什么叫几何平均数？稍后做解释）

此时教师跟着在黑板上板演：

a，_____，b ■ a，■，b

a，_____，b ■ a，■，b

师：刚才同学们从数的角度对■，■与a，b的关系做了很好的解读，请大家再观察■，■与a，b，你还能从其他数学角度作更多的想象吗？

生3：既然可以理解为等差数列与等比数列，那么应该可以利用等差数列、等比数列的图像性质来刻画它们的关系.

生4：我们平常用字母a，b来表示线段，是不是可以用线段的长度来刻画它们呢？

师：这两位同学的想象力非常好，能够用数学的方式作更多的联想，刚才几位同学联想的主要有两个角度：（1）数列的图像;（2）几何线段. 前面我们利用面积这个几何关系推导得到了基本不等式，这样一来同学们就赋予了基本不等式更多的几何背景.下面分组讨论，分别从数列、线段的角度通过构造证明基本不等式.

小组1：如图5，AB=a，CD=b，E是AC的中点，则EF=■，EG=■，由数列图像得EF≥EG，即■≥■（a>0，b>0）.

小组2：如图6，AC=a，BC=b，以AB为直径作圆，过C作AB的垂线交圆于D，E两点. 由相似可得CD=■，而OD=■，由图得OD≥CD，所以■≥■（a>0，b>0）.

师：两个小组都从各自的角度通过分析构造，得到了基本不等式■≥■（a>0，b>0）. 从图6我们可以看到■所表示的几何线段，这就是它为什么叫几何平均数的缘由.下面哪位同学能把今天这节课的内容作简要的梳理，我们从哪些角度认知了这个不等式？

生5：首先我们从图形的面积角度得到了两个不等式，然后又从数的运算以及等差数列、等比数列两个角度解读了基本不等式，最后又从指数函数图像与一次函数图像以及圆中的弦与直径的关系解释了基本不等式.

师：非常好，就代数层面而言，它涉及两个正数的运算，即通过加、乘、乘方、开方等运算产生的不等关系，也是两个正数等差中项与等比中项的大小关系. 从几何角度审视，可以进行如下理解：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大;在以a+b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长;在同一个圆中，弦长不大于直径，等等. 还有很多视角、很多知识与基本不等式有着前世今生的缘分，它是很多重要的数学概念和性质的认识基础，小小一个不等式，可以贯通代数、几何等知识，而且不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”.正因此，不等式■≥■（a>0，b>0）被称为“基本不等式”.

设计意图：从形的直观中联想到数量的关系，再由数之关系联想到形的结构形态，让学生不断在直观中发挥想象，在想象中提高对基本不等式的认识与“悟”性，收获经验.教师设计恰当的情境引导学生从不同角度来探究学习，这不仅让学生对基本不等式知识的本质有更深刻的认识，提升数形结合的能力，更能领略到数学知识的前后相互联系与本身的内在几何背景，提升直观想象素养.

■结束语

直观想象素养的培养与形成不是一蹴而就、立竿见影的，某种意义上来说，核心素养并不是教师教出来的，它一定是学生在数学知识的学习过程中、在数学定理的探究过程中、在数学问题的发现与解决过程中逐步养成的，亲身经历、慢慢去体会、慢慢去“悟”和“养”是素养提升的必要条件. 优秀的数学课堂教学要在创设合适情境上下功夫，在指导学生如何观察数学对象上动脑筋，在学生发现问题、提出问题上作引导，在学生自主探究过程中尽量放手，在学生研讨活动中平等参与. 因此需要教师不断在实践中上下求索，不断改进、优化课堂教学，把培养学生直观想象素养落实在教学的每个环节中.？摇？摇

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  金玉明. 例谈直观想象能力[J]. 新课程（下），2016（11）.

[3]  教育部基础教育课程教材专家工作委员会. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]. 高等教育出版社，2018.

[4]  史宁中. 数学的抽象[J]. 东北师大学报（哲学社会科学版），2008（05）.

[5]  史宁中. 数学的基本思想[J]. 数学通报，2011（01）.