初中数学分层走班教学探究——以《函数的性质》为例

陆 京

一、分层走班教学的时代背景

“分层走班”是现代教育改革发展的必然产物，是为满足学生个体发展的需求而产生的。初中阶段的学生面临着个体发展差异性日趋扩大、两极分化愈加明显的现象，而“分层走班”教学为解决这一现状提供了较好的途径。初中学生的分层走班教学是在不打破行政班级的前提下，根据学科特点，将行政班两两打通，根据学生学习知识的能力，将学生分为A层和B层，在不同的层次班级上课，以达到让学生自身接受新知、获得课堂效率和学习成果的最大化。本文将以初中数学学科分层走班为例，通过九年级上册第一章第三节二次函数的性质为例，阐述分层走班教学的形式、内容和学生学习的效果。

二、分层教学过程展示

1.教学目标

(1)从具体函数的图像中认识二次函数的基本性质；

(2)了解二次函数和二次方程的相互关系；

(3)探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性概念，会求二次函数的最值，并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性。

2.教学重点与难点

(1)教学重点

二次函数的最大值、最小值及增减性的理解和求法；

(2)教学难点

二次函数性质的应用较为复杂，是本节教学的难点。

3.分层教学流程

(1)AB分层课前前测

每节课前都要求AB层学生完成课堂预习，前测作为课堂预习的检验也需要分层处理，本节课的前测内容如下。

A层前测

①二次函数y=x2-2x-3的图像如图1所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是______。

图1

图2

②如图2，已知抛物线与x轴的一个交点A(1，0)，对称轴是直线x=-1，则抛物线与x轴的另一交点坐标是( )。

A.(-3，0) B.(-2，0)

C.(0，-2) D.(0，-3)

③已知二次函数y=4x2-mx+5，当x＞-2时，y随x的增大而增大；当x＜-2时，y随x的增大而减小，则当x=1时，y的值是( )。

A.28 B.17 C.1 D.25

B层前测

①已知抛物线y=-(x+3)2-5，则此抛物线的函数值有( )。

A.最小值-3 B.最大值-3

C.最小值-5 D.最大值-5

②抛物线y=x2-5x+4与x轴的交点坐标为_______，与y轴的交点坐标为_______。

③对于二次函数y=-(x-2)2+3，当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大。

设计意图：由于AB层学生的程度不同，因此对AB层学生提出的预习要求也不同，设置的课前前测内容的难易程度也有所不同。这项作业在课前完成，花费大于3至5分钟，教师可以通过学生前测的情况了解学生的预习情况，学生也可以根据自己的前测结果，评估自己的不足之处，可以带着问题来上课，让课堂成为学生解惑的地方，为提高课堂效率打下基础。

(2)分层课堂例题剖析深度对比

例题：已知函数y=-0.5x2-7x+7.5

(AB层)①求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图像；

(AB层)②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。

(A层)③在此抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2),且x1＞x2＞0，试比较y1与y2的大小。

(A层)④该抛物线是由抛物线y=-0.5x2怎样平移得到的？

设计意图：本题的第①和第②题都是围绕本节教学重难点展开，学生掌握了这两题就基本完成了本节课的教学任务。对于B层学生来说，每一小问都要深入详细地讲解，速度可以放慢一些，多提问学生，举一反三。对于A层学生来说，在预习的基础之上，大部分学生是可以独立完成题①与②，因此可以让学生上讲台来进行解答。题③是对二次函数性质的应用，利用性质可以很快找到解决的方法，这是A层学生可以探讨和研究的，也是对这道例题进行的加深，学生也可以通过小组讨论得出解决方法。题④是对图像和平移的应用，有助于A层学生提高思考能力。

(3)分层课堂巩固提升环节对比

(A层)已知二次函数y=-x2-2x+3的图像与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，图像的顶点为点D，利用图像判断，当x满足什么条件时，0≤y≤3(由学生独立思考，限时3分钟，然后进行小组讨论)？

(B层)已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数)。

①求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点(由学生独立思考完成)。

②当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方(由学生独立思考，限时3分钟，然后进行小组讨论)？

设计意图：A层题目的设计，既要求学生利用图像完成在此过程中涉及到求出二次函数的“五点”，同时又与常规的二次函数性质题不同。常规的题目会让学生根据x的情况判断y的范围，而此题用了逆向思维，由y的范围来判断x应满足的条件，增加了难度和深度，激发了学生的探索精神，使学生能够更好地利用图像来解决二次函数的性质问题。

B层题目的设计，由浅入深，让学生有一个充分的适应和过渡过程，在学习二次函数性质的基础上，能够利用图像求出与函数有关的交点问题。通过独立思考与小组讨论相结合的方式，激发每位学生的能动性，有效提升课堂效率。

(4)分层教学作业布置

A层作业

①如图3，已知点O(0，0)，B(2，1)，抛物线l：y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C。

图3

1)经过点B，求它的表达式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；

2)设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小。

②如图4是二次函数y=ax2+bx+c的图像的一部分，图像过点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1。给出以下结论：1)abc＜0；2)b2-4ac＞0；3)4b+c＜0；4)若为函数图像上的两点，则y1＞y2；5)当-3≤x≤1时，y≥0。其中正确的结论是________(填写代表正确结论的序号)。

图4

③已知函数y1=kx2-(2k+1)x+(k+1)(k为实数，且k≠0)。

1)求证：无论k为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点；

2)若一次函数y2=(k-1)x+2k-1的图像与y1的图像经过x轴上的同一点，求k的值。

B层作业

①已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )

A.当a=1时，函数图像过点(-1，1)。

B.当a=-2时，函数图像与x轴没有交点

C.若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小

D.若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

②已知抛物线y=x2+2x+m-1。

1)若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值；

2)若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m的值。

③已知二次函数y=-x2-2x+3的图像与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，图像的顶点为点D。

1)求点A，B，D的坐标；

2)画出这个函数的大致图像；

3)利用图像判断，当x满足什么条件时，0≤y≤3。

设计意图：A层学生的作业具有一定的高度，除了掌握二次函数性质的基础题之外，在此基础上作了进一步的加深。第一题为基础知识的巩固并且能利用图像很快地比较y1与y2的大小。第二题综合性较强，要求学生熟悉二次函数a、b、c的判断、对称轴的应用以及性质的综合应用，对学生的能力有一定要求。第三题是一个发散提升题，第一小题证明抛物线与x轴的交点，既可以用Δ法，也可以根据y=0时的求值法，让学生感受一题多解。第二小题对学生的能力有一定的要求，适合A层学生的能力发展。

B层学生的作业以扎实基础为主，由浅入深，对二次函数的性质进行数形结合的综合应用，难度适中，符合B层学生的学习能力，并且也能激发B层学生的学习新知和攻克问题的欲望。

(5)教学效果反馈

通过这节课，AB层学生基本能掌握二次函数的性质，并且能够应用在图形和一些综合题中。对A层学生来说，不仅掌握了基础的用法，而且综合解题能力也有了提升；B层学生也通过由浅入深的学习，加深了二次函数性质的认识，AB层学生都得在自己的能力范围内，做到了学校效率最大化。

三、分层教学反思

通过AB分层，切实做到了从学生自身出发，课前、课中和课后设计都紧密联系学生的特点，尽量让每位学生都能得到提升，大大提高了课堂效率。分层教学让优等生更加优秀和拔尖，让基础中下的学生获得自信，重新燃起对学习的动力。在分层中也有值得我们注意的方面，比如对于分层标准的界定，既要公平合理、有利于学生发展，又要考虑人数和行政班级的情况。另外，处于AB分层临界点的学生，可能会出现在A层不太跟得上、在B层又有些“喂不饱”的现象，教师要多关注他们的课堂表现和作业情况，及时发现问题和解决问题，确保他们能在原有的基础上得到提升和发展。