一种平面几何入门教学模型的应用

张 昆

为了发挥平面几何课程资源的教学价值，借助于平面几何课程资源中图形直观特征，培养学生理解平面几何图形的性质.教师在向学生提供信息、启发学生从信息中发现问题、选择合适的途径提出问题、分析问题与解决问题（探究证明题的思路）的过程中，培养学生的逻辑思维能力，进而体悟理性精神，这是平面几何知识教学价值的集中体现.为了实现这种教学目标，在义务教育初中阶段课堂教学中，如何处理进入教科书上的知识内容，选择怎样的技术手段进行教学设计及其在课堂上的实施，教师的首要任务就是需要整理出一个简单的教学步骤，以此引领自己的教学行为，才能获得比较好的教学效果.这是本研究的主旨.

平面几何中各种不同知识内容的教学步骤，不是依据时代优势教育教学理论推导出来的（理论家只能教导你怎样教，当你给他一个具体的知识点，要求他按照他自己提出的理论作出一种教学示范性的课例时，他往往会无能为力），而是必须要适应于所选的教科书呈现平面几何知识的内容、要实现的教学目标、具体学生的心理特点、教学实践中的需要与所能达到的教学技术手段等的不同要求，没有固定格式可言，是具体情境具体分析的结果.虽然如此，还是可以大致地提出以下的课堂教学具体步骤，如图1所示.

图1 课堂教学的具体步骤

1 提出问题

数学教学设计就是数学问题及其序列的设计.它的中心任务是要设计出一组问题，从而把课堂教学过程组织成为提供数学化信息，启发学生从信息中（或者教师自己直接向学生）提出问题、分析问题与解决问题的连续探究活动过程，以此在课堂上为学生营造出有效思维活动的场域.启发学生在提出问题、分析问题与解决问题的过程中做数学，学数学，从而增长知识、发展能力、提高素质、形成经验与养成素养.［1]平面几何推理论证入门教学也不例外，平面几何知识教学提出初始问题的方式之一，可以借助于原有的图形，将所要探讨的结论向前稍加延伸，如此往往会形成较好的初始问题.

例如，我们以等腰三角形相关知识为基础提出如下问题：设E、F分别为等腰△ABC的两腰AB、AC边上的中点，BF、CE交于点D.如图2 所示，于是，在这个等腰△ABC中，两腰上的中线及其交点将它添置了许多线段，请你思考这些线段具有怎样的相等关系？

图2 提出问题的基础图

这个问题刺激了具有不同“数学现实”［2]的学生，引起了他们的兴趣与思考，他们依据各自学习平面几何知识的经验、观察能力、理解水平与言之有据、事出有因的思维习惯，经由个性化地思考，可能做出不同的回答，据此，可以培养不同学生的创新能力、观察能力、选择能力、探究能力、判断能力与推理能力等，可以使具有不同个性差异的学生得到各自的知识、能力、观念、经验、处理平面几何问题的方法与养成探究证明思路的素养等，如此，使教师的教学具有更大范围的适应性，从而产生出适应于整个班级所有学生的个性差异的教学活动过程.

基于此，笔者在一个班教学实践中发现，有些学生只能发现AE=BE，AF=BF；或进一步发现AE=AF等，这些是直接从已知条件产生的相关结论；有些学生根据已知条件，通过猜测活动，间接地得到BE=CF，DE=DF，CD=BD等结论.于是，可以依据具有心理差异的不同学生各自的情况，组织生动活泼的课堂教学过程，尤其是教师根据学生在发现活动过程中所显现的“最近发展区”［3]，依据学生通过过去学习已经掌握了的内容与经验，选择具有针对性的教学方式，如此，一定会引起学生的兴趣，增加课堂教学的有效性.还可以在学生已经发现了的这些线段的相等关系的基础上，结合问题作图，这也是深入地理解这些问题及其产生原因的具体途径，由此培养学生多维的发现探究平面几何问题的能力.

2 图形实验

教师在向学生提供相关的信息时，鼓励学生变动图形的某些要素，探究图形某些量的变化与不变关系，从图形直观上，启发学生得出新的结论，进而由此诱导学生针对自己提出的问题而产生的结论需要加以逻辑证明等要求，以此促进学生“卷入问题”［4]，调动学生学习平面几何相关知识的主动性与积极性，引导学生想方设法地探究证明这些结论的思路，从中生成探究能力、逻辑思维能力与符号表达能力.这又可以分为两个方面.

（1）对图形进行具体的实际操作，对于提出问题环节中的那些抽象思维能力较差的学生，指导他们考虑具体的问题较好，对于那些仅仅发现结论AE=BE，AF=BF的同学，可以指导他们通过对这些相关的线段加以测量，从测量结果的量度上找到得出结论的依据，也可以通过将图形加以剖分，利用折叠、重合的办法，经由观察找到线段相等事实性的依据，由此逐步上升到逻辑性的（即线段中点的定义）依据，这是培养学生言之有据的证明活动的最初的环节，由此培养学生养成正确的判断事物的态度与通过实际操作的方法，最终启发学生认识到通过逻辑证明的需要，由此鼓励学生实现证明的途径；对于那些通过间接的手段得到某些结论的同学，我们将引导他们思考推理证明的途径（后文详加说明）.

（2）使图形适应于某些条件的变动操作，上述具体的实际操作是静止的，不变动图形中的某种要素，这样的操作很难构成对等腰三角形要素（变动量与不变量）之间的关系等深刻的、全面的认识.从运动观点出发，例如，通过改变这个等腰△ABC的底边BC的长度，引导学生观察图3、图4、图5中的所有线段相等关系的变化情况；同样还可以观察当等腰△ABC底边BC不变，而它高变动时的所有相等线段的变化情况，如此，可以得到一般性结论.最后，从提出问题环节与图形实验环节的情况进行分析、归纳、类比等推理方法的认识中，对这个图形及其变动状况进行直观解释，进行定性分析，进行定量研究，可以得出一些有价值的结论.

图3 将图2等腰三角形 底边缩短

图4 将图3等腰三角形 底边伸长

图5 将图4等腰三角形底边伸长

3 严格证明

平面几何证明要求学生具有严谨的逻辑能力，专业而严密的符号语言表述能力和较强的作图识图能力，但这是很多学生难以逾越的障碍，因此，它是培养学生探究能力，逻辑思维能力等的重要课程资源，而且这种资源几乎是不可由其他知识所替代的.［5]在平面几何的课堂教学中，证明能力的培养是重头戏，因为，证明能力要求其他相应能力的支持，因此，证明能力其实是对学生的一种综合性能力的要求，构成了本研究的要旨之所在.它要求我们从以下几个环节展开教学活动.

3.1 明确平面几何证明的必要性

一方面，所谓证明就是把不明白的事物弄明白的过程，证明其实是探求真理的一种手段.如果学生觉得对本已明确（通过观察与猜想）的东西再去证明，就会使他们对平面几何命题的严格证明的必要性产生怀疑，认为它没有真正的意义与价值.要启发学生认识到，通过感官觉察到的东西（感性认识）未必靠得住，只有通过推理证明了的东西（理性认识）才靠得住，只要推理的前提是正确的，经由正确的思维逻辑的作用，结论也就是绝对可靠的（由此体悟“公理化”思想），如此，才能体现平面几何证明的价值与意义.学生通过小学学习活动，就以现实的几何图形的实践探究为基础，对几何图形的性质有了初步了解与认识，也具备猜测、归纳、发现这些性质的能力，但这些不是建立在严格的逻辑推理论证的基础上的.

因此，在义务教育初中阶段平面几何内容的学习中，至关重要的是抓住那些应用观察、类比推理、对比推理、归纳推理与猜想等得到了的、不能确定其真实性的命题，从而引导学生追问在任何情况下，对于这些命题都必须要具备普遍正确的要求，这就构成了逻辑推理论证的意义.因此，首先必须要把证明的意义，即为什么要证明，引导学生加以深刻地理解，然后才讲证明与推理的基本方法.另一方面，教师必须带领学生处理好从提出问题、图形实验中使用类比推理、归纳推理、对比推理与猜测等发现正确的几何命题与性质关联起来，用以阐述证明的价值与意义.

3.2 形成探究证明思路的习惯与方法

弄清楚平面几何证明的必要性，只是为学生理解证明的价值铺垫了基础，促进学生产生证明平面几何的动机，这是平面几何教学中必须要解决好的问题.那么，对于具体要求证明的平面几何命题，证明活动的技术手段是什么？如何探究它的证明思路呢？

笔者多年平面几何教学经验表明：初中生学习定理（公理）及其逻辑推理是必要的，也是完全可能的.一方面，大多数学生在定理学习及其应用中，对定理的理解很难一次性地达到准确地步，对定理结构层次也难于精确把握，对几何定理（公理等命题的形式）中各种元素所处位置与关系也不能准确辨别清楚，这些就给它的应用造成巨大困难.另一方面，他们在应用定理（公理）解决问题时，对问题的把握也往往是混沌一片：分不清命题题设条件和结论，作不出比较准确的几何图形等.有时，他们虽然可以很好地解决这当中的一些外围问题，但却选择不出主攻方向，往往只能将条件进行无目的地堆砌和拼凑，即使得到了正确结果，也实在是存在着几分的侥幸，而对已经解决了的问题过程并不是真正理解与正确把握.所有这些都不利于平面几何学习的进一步发展.为此，分析一下证明一个命题的一般过程是必要的（见图6）.［6]

图6 几何证明思路的逻辑推理链

从图6 可以看出，所要证明命题结论，最终都由已知构成，但在寻找这些已知时，对于稍微复杂一点的命题，学生不可能一次性地就成功达到目的，而是要配合所用定理（或公理）的结构构成要素，首先寻找出“需知”，利用这些“需知”来调控已知对结论的决定性作用.这些“需知”便组成了从“结论”到要求的“题设”的“中途点”，它至关重要，正是这些作为“中途点”使已知和结论形成了证明环节的“接龙”，也就是大数学家彭加莱所说的“序的安置”.由此把学生寻找问题思路从混沌一片转换成了线性序列，从而为辅助线方法的实现奠定了现实的基础，于是，大大降低了学生逻辑思维强度，使他们对逻辑推理论证不再畏之如虎.［7]

上述我们主要强调的是分析法，从结论出发寻找产生结论的条件（即所谓的“执果索因”的方法），当作为“中途点”的条件不够用时，可以通过辅助线制造出一些新的条件来；事实上，在探究证明思路时，还有从题设条件直接导出结论的综合法（即所谓的“由因导果”的方法）；当单独使用“执果索因”或“由因导果”的方法都难以为续的时候，我们一般可以将这两种方法结合使用（从两头向中间靠拢，指引着证明者在思维中产生“中途点”），就形成了所谓的“探索性分析法”.［8]在探究稍复杂一点的平面几何证明思路时，“探索性分析法”是一种强有力的手段.

例如，在我们所提供的例子中，如图2，有同学发现了CD=BD这个结论，那么，如何探索这个结论的证明思路呢？

（1）由条件AB=AC可以获得几种途径证明∠ABC=∠ACB（由于AB=AC，AC=AB，BC=CB，知△ABC≌△ACB），同时，在AB=AC与“E、F分别为等腰△ABC的两腰AB、AC边上的中点”的条件下，不难证明AE=BE=AF=CF.

（2）由（1）产生了这些新条件之后，可以证明CD=BD这个结论吗？

（3）为了证明CD=BD这个结论，我们想到，①证明△DBC是等腰三角形；或者②证明△BDE≌△CDF.

（4）从（1）中所产生的一些新条件出发，要证明①成立，希望证明③∠DBC=∠DCB.

（5）为了证明③成立，可否为两个全等三角形的一组对应角，由图形的直观，可知证明了△EBC≌△FCB就达到目的了；或者由于∠ABC= ∠ACB，只要证明④∠ABF=∠ACE也可以达到目的.

（6）从条件及其图2 的直观中，发现为了证明③成立，寻找证明它成立的三个条件，从已知条件及其开拓出来的新已知条件中，可以寻获EB=FC，∠EBC=∠FCB，还有公共边相等，即BC=CB.

（7）由（6）可知，在△DBC与△DCB中，满足判定三角形全等的“两边及其夹角对应相等”的“边角边”判定公理的形式，于是可得△DBC≌△DCB.

如此，在这个例子中，搜寻结论CD=BD证明思路的过程，就是采用的“探索性分析法”，从条件与结论两方面入手，搜索到了证明这个结论的思路，每一个“中途点”最终都被搭建了起来.这就是比较好的分析思考平面几何证明问题的课堂教学方法，教师在课堂教学活动中，一定要重视这种方法的引进，并且通过适当的典型例题，促进学生自觉地使用这种方法探究平面几何证明题的思路，它是提高学生索解证明思路能力，提出问题、分析问题、解决问题能力与自学能力的重要课程资源.

3.3 证明过程的表达格式与形式

对于初中学生而言，即使他们成功地探究得到了证明的思路，但从探究证明思路到严格的证明表达格式与形式往往会感到十分困难.产生这种结果的原因在于：第一，是由在“形成探究证明思路的习惯与方法”的论述中的综合与分析两方面的交叉思考（“探索性分析法”）的特征造成的，分析法是从未知结论出发寻找结论成立的已知条件，而严格的几何证明过程是从已知条件抵达未知结论，因此，学生比较容易地在证明的表达过程中把已知条件与未知结论这两者混为一谈；第二，由于学生接触平面几何证明表达的时间不长，而前面学习“全等三角形”时，证明的表达又都是具有非常固定的格式，不像这道题所需要的如此多的变化与转折，从复杂的图形中提取所需要的特征图形也不是一件容易的事情，同时，又采用了许多符号，需要引入长链推理等的新的式，因此，对平面几何证明题的书写格式相应地提出了很高要求.这些在学生头脑中的数学现实都是不稳定的，出现了许多不熟悉的新要素，学生驾驭这些要素必定需要一个积累经验的过程.具体证明思路的发现与证明过程的表达如图7所示.

图7 探究思路与形成证明表达关联图

从探究思路活动到探究证明表达的过程的实现中，就是基于从A1，A2出发，整合A1，A2从而形成了“既考虑已知条件，又考虑要证结论”，引导学生形成从图形中思考条件与结论两个方面的习惯与观念（“探索性分析法”），这样有助于促进学生统整探究证明思路与形成证明表达的解决问题的活动，有利于学生形成整理“从合到分”与“从分到合”的双向活动过程，从而促使学生形成整体地把握平面几何证明时的探究思路、交流讨论、使用符号严格表达等能力，为学生解决较难的平面几何证明问题打下基础.

有了这样的分析，我们可以获得前面的关于图2 中证明CD=BD这个结论的严格的证明表达过程：从③出发加上（1）中的假设，到达（6），到达（7），到达（4），到达（3）中的①，最后到达结论（2）.这是一个证明表达的层次分明的逻辑链条.从而，将索解证明思路的分析与综合过程形成了序列化，经由一定题量的适当训练加以巩固，学生是可以达到如此目的的，于是，我们解决了由第一个原因产生的问题.

关于第二个原因产生的问题，教师在教学时，应随着学生学习过程的各个发展阶段与教学所应达到目标的要求，按照B1，B2，B3的次序逐渐提高，其一，充分利用B1中直观解释，逐步使用符号代替直观解释中所使用的专有名词；其二，充分利用B2的文字表达，注意符号的逐步准确运用，书写要求也逐步严格化，促使学生从探究思路活动进入到证明表达活动，并且逐步理解既简单又明确的证明方法；其三，逐步促进学生灵活运用几何知识，清晰有力地写出平面几何证明题的严格证明的纯粹的符号表达过程.

例如，（5）中证明△EBC≌△FCB的活动，可以在课堂上如此进行教学，“在△EBC与△FCB中，△EBC中的边EB与△FCB中的边FC相等，△EBC中的∠EBC与△FCB中的∠FCB相等，△EBC中的边BC与△FCB中的边CB相等，于是，这两个三角形△EBC与△FCB满足‘两边夹一角对应相等’的条件，从而△EBC与△FCB全等.”这是一种以语言为主，以符号为辅的解释活动；接下来可以进一步提升为“在△EBC与△FCB中，EB=FC，∠EBC=∠FCB，BC=CB”等这样比较纯粹的符号表达，它形成了严格的平面几何证明方法与途径.为了有利于学生的平面几何证明入门的学习，教师必须与学生进行“心理换位”，理解学生的艰难，不厌其烦地训练学生从言语的解释到使用几何符号的严格表达过程，而不应将教师自己的精致的符号证明表达过程强加于学生.

4 归纳总结

课后总结非常重要，它可以序化学生学习了的知识及其产生的思维活动本身，由知识的外在信息化的自然结构过渡到学生心理上以观念形式存在的认知结构，并且从这个过程中，形成相关的处理数学化信息的经验，这种经验以清晰的或不清晰的数学观念形态存储于意识结构之中.在初学平面几何证明时，学生依靠自己的数学现实可能难以自觉地进行总结，特别是总结中形成相关有价值的要素.教师随着教学的进展，循循善诱地启发学生，帮助他们形成总结的能力.关于这道例题总结归纳应该从以下两点展开.

（1）通过总结归纳促使学生体会图形中的美.数学的主观性与抽象性所具有的特点在于，经由数学观念的运动作用，把复杂的问题变得简单化，把含糊的问题变得明确化，把凌乱的信息系统化，通过这种途径处理了的问题，可以将数量关系与空间形式的相关要素进行美化的取向，因此，数学的思考具有美化的作用，产生审美意向.在归纳阶段中，特别是系统归纳方法，促进学生将先后学习的内容联系起来，解决问题之后，通过反思进行归纳与整理非常有价值.在图2 及其条件中，变动点E、F在两腰上的位置，例如，将E、F这个等腰△ABC两腰上的中线与两腰的交点变成为等腰△ABC的两腰上的高与两腰的交点，或者是两底角的平分线与两腰的交点，再或者更为一般的情形，只要满足AE=AF这个条件，DB=DC这个结论都是依然成立的.为什么会出现这样的情况呢？这是因为等腰三角形是以顶角的平分线为对称轴的轴对称图形，而上述条件的所有出现的两腰上的点E、F都相应地是两腰上的以顶角平分线为对称轴的对称点，而点D是自对称点，如此，所有满足DB=DC的条件的E、F都可以统一起来了.此时，我们会认识到，图2具有匀称的美，统一的美，对称的美与和谐的美.

（2）通过总结归纳促使学生体会图形的妙处.在课堂教学中，应当想方设法地促使学生认识到一些平面几何的基本图形中的相关元素的功能，还要促进学生细心地领悟基本图形的妙处，如此，教师通过长期的引领，对学生学习好平面几何（特别是探究证明思路）会产生很大的帮助.因此，应当带领学生逐个地解决相似的问题，要重视培养学生的逻辑思维能力，也要和探究证明思路与严格证明的符号表达结合起来.把平面几何图形的性质视作客观真理，这也是平面几何学习的非常重要的一个侧面.

5 结论

总之，笔者通过三十余年的教学经验发现，这种教学模型及其环节或多或少地在课堂教学中都得到了不同程度的应用.在平面几何教学中培养学生的逻辑思维能力时，不能忽视教学技艺与方法的选择，教师不仅要考虑促进学生理解平面几何知识，考虑引领学生探究证明思路的途径，而且还要考虑教学活动对于学生的心理适应性，不了解学生的数学现实、学生面对几何问题时的心理活动过程、学习的疑难是什么、问题在哪里，只是把传授逻辑推理的思考方法原封不动地奉献于学生，这种教学效果是不会理想的，应该纠正这种脱离学生数学现实的教学方法.本文的研究为此提供了一种有价值的视野.