数学问题的巧解策略

胡小平 周茜

[摘 要]利用数学的理论、公式，构造出满足数学问题的条件或者结论的一种数学模型，体现其解法为“打破常规、另辟蹊径”的情境，让所求数学问题获得巧解，从而达到妙解数学问题，以此培养学生思维的独创性，发展学生的创新思维与创新能力.

[关键词]数学问题;模型;巧解

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）29-0025-02

对于一些数学问题，若能充分抓住“已知题干”的结构，挖掘出它的显性或隐性条件，巧妙地构造相适应的数学模型，就可以简捷地求得问题的解.

一、构圆锥曲线模型，巧解数学问题

评注：  該证法“抓住”已知式的结构，深入挖掘出它的几何背景，巧妙地构造圆锥曲线（椭圆）模型，简捷地将问题解决.应用构造法解题，见解独特，不循常规，妙趣横生.

二、构矩形模型，巧解数学问题

三、构配对数式模型，巧解数学问题

评注：配对思想是数学的重要思想之一，在求解某些数学问题时，合适的配对方式往往能使计算或计数的过程简化，起到事半功倍的效果.该题的解法主要是在观察数学问题的结构的指引，诱发创新思维与创新潜能，从而联想到利用构造法配对数式来解决.

四、构三角形模型，巧解数学问题

五、构非负数模型，巧解数学问题

评注：对于许多数学问题，比如求代数式的值，解方程（组），解不等式，证明条件等式，由于其“证解方法”因题而异，因而难度较大.若能对已知的式子巧妙地构造成非负数的模型，再利用非负数的知识，从而使问题迅速被巧解.

六、构恒等式模型，巧解数学问题

七、构定理模型，巧解数学问题

分析：显然这道题要求较高， 从常规思路去思考往往很难寻找到突破口， 但是考虑到题中的位置关系——圆与四边形[AB1C1D1]，再运用Ptolemy定理问题获证.

评注：对于这道涉及几何与代数的综合问题，巧妙借助了题中暗含的数的信息，灵活构造三角形的面积参量，巧妙借用Ptolemy定理这一座“桥”顺利地利用“形”把“数”综合的问题解决了，其解法让人称“绝”.

总之，数学问题涉及内容丰富多彩，呈现的形式千姿百态，解题策略自然也会多种多样.教者要引导学生充分联想所学数学方法，巧妙构造典型的数学模型，从而给出数学问题的妙解.这样既可以启迪和拓展学生的思维，又能提升学生的数学素养.

（责任编辑 黄桂坚）