证据推理让学生的数学学习走向深刻

朱国军

摘    要    基于“证据”的数学教学要培育学生的证据意识，提升学生的论证能力。通过引导学生收集证据、应用证据、分享证据、反思证据，让证据成为学生数学学习的有力抓手。“证据”能深化学生数学学习的卷入度、能见度、可信度和沉淀度。通过证据，能不断地提升学生数学学习力，发展学生数学核心素养。

关键词  小学数学 证据推理 深度学习

“证据”是指反映一种事物对另一种事物的证明关系（关联性）。在小学数学教学中，教师要引导学生树立证据意识，形成“证据支持主张”的论证思想，让学生学会“有理有据”地思考、推断。从证据材料来看，证据包括已有的事实知识、实验现象、原始数据等。因此，让学生收集证据、分享证据、关联证据、补充证据，应当成为小学数学证据推理的必要环节。

一、定位：引导学生搜寻证据

证据是学生推断新知识的材料，可以分为直接证据和间接证据。运用证据进行推断，不仅可以证实，还可以引导学生证伪。在数学教学中，是运用直接证据还是运用间接证据，是证实还是证伪，不仅要依据数学推理内容，而且要依据学生的具体学情。证据定位，就是要找准教学的方向目标，从而让教学有的放矢。

数学教学在证据中定位，能有效地培育学生的证据意识。要关注每一位学生，让每一位学生在数学学习中都能留有思考的痕迹。因此，在数学教学中，教师要引导学生充分感知，引导学生多向思考，引导学生深度探究。只有这样，才能让学生发现证据、把握证据。比如教学苏教版《数学》五年级上册“梯形的面积”，由于学生已经学习了平行四边形的面积、三角形的面积等，因此，教师在教学中要拓展证据的广度，不仅可以引导学生将梯形转化成平行四边形，而且可以引导学生将梯形转化成三角形、长方形等;可以变换证据推理的角度，比如引导学生采用各种方式方法进行推理，如剪拼法、倍拼法、分割法等;可以提高证据推理的深度，不仅可以引导学生积极猜想，而且可以引导学生通过实验验证，并将转化前后的图形进行比较，等等。在运用证据进行推理的过程中，证据材料侧重于积累，其主要表征的是证据“是什么”的广度问题;论证方式侧重于思考、探究，其主要表征证据“怎样推理”的问题;证据反思侧重于反馈、评价，其主要表征证据“为什么这样推理”的问题。解决好证据材料、论证方式以及论证反馈、评价等问题，学生的数学学习就能真正走向实证。

通过证据的定位，能让学生对数学学习有一个科学、合理的预期，让学生的数学学习“学而有向”“学而有据”“学而有理”。基于证据准备的视角，教师可以设计挑战性的问题，可以提供可操作的工具，从而对证据进行广角扫描。

二、定法：引导学生应用证据

学生的数学学习，从某种意义上来说，就是以证据为起点，以学习目标为归宿，在证据和目标之间的路径规划。通过具体的谋划，引导学生探寻论证的方法，进而提升学生的论证能力。由于证据与证据之间的关联是多样化的，可能是正确的，也可能是错误的，因此，证据推理必须要严密，也就是要讲究逻辑性。

证据推理，从形式上来看，主要可以分为类比性证据推理、归纳性证据推理及演绎性证据推理等。类比性证据推理是从特殊到特殊的推理;归纳性证据推理是从特殊到一般的推理;演绎性推理是从一般到特殊的推理。其中，归纳性证据推理可以分为完全归纳性证据推理和不完全归纳性证据推理。在推理的过程中，学生还会产生新的证据。作为教师，要引导学生处理好原证据与新证据之间的关联，以便让学生的证据推理留下更深的痕迹。比如教学苏教版《数学》四年级下册“三角形的内角和”，有学生通过实验测量、撕角、折角等方法，以实验结果为依据，得出“三角形的内角和是180°”。有学生则不满足于这样的实验证据，积极从已有知识经验中寻找论证的突破口。由此，有学生认为，长方形的内角和是180°，任意两个完全相同的直角三角形都可以拼成长方形，所以任意直角三角形的内角和是180°;任意一个锐角三角形或钝角三角形都可以沿着高分成两个直角三角形，所以任意一个锐角三角形、钝角三角形的内角和都是180°;所以任意一个三角形的内角和是180°。这个论证过程不断转变证据，从长方形到直角三角形，既有演绎，又有完全归纳，因而是一种较为严密的证明。正是在积极寻找有力证据的过程中，学生将实验论证与理论论证相结合，令人信服地论证了三角形的内角和是180°。在数学教学中，教师应当引导学生以证据为起点，以学习目标为依据，在证据与目标之间积极谋划路径，从而创造一种适恰的论证方式。在这个过程中，每一个个体都会努力突破个体认知局限，主动地探寻不同形态的论据。对同一个知识，不同的学生可能会从不同的视角、运用不同的论据进行不同形式的的论证，在这一过程中，学生还会积极寻找新的论据，从而不断地提升自我的学习力，发展自我的数学核心素养。

三、定向：引导学生分享证据

在数学教学中，对學生的证据推理，教师要给予持续地跟踪。只有持续地跟踪，才不会让学生的证据推理偏离方向，才能让学生的证据推理始终向目标迈进。持续地跟踪，就能对学生的论证过程予以定向。在整体的方向框架内，教师要引导学生深入地交流证据。很多时候，学生的证据能相互支持，成为一种彼此交互的证据。在这个过程中，教师要努力促成学生彼此之间证据的积极迁移。

因此，在数学教学中，教师不仅要高屋建瓴地对数学知识进行解读，更要把握学生具体学情。作为教师，要设置主导性的问题，让学生在学习中思考、探究，找寻证据。基于证据的数学教学，不仅能让学生了解到证据的重要性，更能让学生学会判断自我的数学思考、探究是否能达成目标。牢牢把握证据，学生的数学学习就能在证据中生长。比如教学苏教版《数学》六年级下册“圆柱的体积”，笔者引导学生进行动手操作，用实验结果作为证据来引导学生推理。在实验过程中，当学生用切拼法将圆柱体的模型切成楔子形状的直扇柱体时，有学生将这些直扇柱体拼成一个底面是近似三角形的三棱柱，有学生拼接成底面是近似梯形的四棱柱，还有学生拼接成一个近似的长方体，等等。在引导学生以自己的实验结果作为证据进行推理时，他们都能积极、主动地比较这些近似的三棱柱、四棱柱、长方体与原来圆柱体的关系，从而推导出圆柱体的体积。在比较推理过程中，学生发现尽管各自将圆柱体转化成了不同的形体，但却都可以推导出相同的圆柱体的体积公式。不仅如此，将圆柱转化成近似的长方体的学生发现，不同的摆放方式，长方体的底面积不同、高也不同。圆柱体的体积既等于底面积乘高，又等于侧面积一半乘半径，还等于高与半径的乘积再乘以圆柱体底面周长的一半。在这个过程中，尽管学生的推导过程不同，所用证据不同，但这些不同的证据之间彼此却形成了一种互证。这样的互证，让学生在多维的交织中实现着群体的学习进阶。值得注意的是，在引导学生分享证据的过程中，教师要给予学生展示的机会，让学生运用自我的证据积极论证。只有这样，才能促成学生数学思维、数学认知、数学学习的不断进阶。

四、定度：引导学生反思证据

在数学教学中，证据不一定是客观的，证据也有可能是主观的;证据有可能是真实的，也有可能是虚假的;证据有可能是有力的，也有可能是模糊的、零碎的、膚浅的。作为教师，要引导学生在证据推理的过程中反思证据，是否合理、是否科学、是否有效，等等。正是通过对证据的不断反思，让学生能主动地修正证据、补充证据、完善证据。通过证据的不断完善，完善学生的证据推理。

比如教学苏教版《数学》五年级上册“平行四边形 的面积”，有学生在进行证据推理时，提出了这样的猜想：平行四边形的面积是底乘斜边;而有学生认为，平行四边形的面积等于底乘高。为此，笔者追问学生各自猜想的证据。有学生说，因为平行四边形可以推拉成长方形，长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的斜边，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘斜边。显然，学生的数学猜想证据中有些不能称之为证据，而是学生的一种迷思概念、相异构想，是影响学生正确进行推理的障碍。对这样的迷思性的证据、相异构想性的证据，教师要进行启发、引导，让学生自识其陋、自识其错。如在上述教学中，当笔者发现了学生猜想所依据的证据是一种错误证据时，及时给学生提供了方格纸，让学生对证据进行自我审视、自我否定。学生直观地看到，在长方形推拉成平行四边形的过程中，面积发生了变化，因而从推拉视角提出的证据是错误的。而提出另一个猜想的依据是平行四边形可以剪拼成长方形，在这个过程中，面积没有发生变化，因而这一猜想依据是成立的，是一个真正的证据。由此，学生对平行四边形转化成长方形，就能主动地舍弃推拉法，转而采用剪拼法推导平行四边形的面积。对证据的反思、批判，使学生的学习历程、思维进阶等留下了更深的痕迹。

证据是学生证据推理的基石。基于证据的数学推理教学，能促进学生的数学深度学习。在数学教学中，教师要引导学生努力搜集证据、应用证据、分享证据、反思证据。证据能提升学生数学学习的“卷入度”，能提升学生数学学习的“能见度”，能提升学生数学学习的“可信度”，能提升学生数学学习的“沉淀度”。通过证据，能不断地提升学生数学学习力，发展学生数学核心素养。

参考文献

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[责任编辑：陈国庆]