浅谈数学学科核心素养视角下的AP微积分教学策略

胡祝齐

【摘要】AP课程是给高中生开设的、供学有余力的高中生选修的大学课程.通过国内高中数学教材与AP微积分教材相应内容的对比，明确AP微积分侧重的教学理念与知识点.尝试以发展数学学科核心素养为目标，改进教学策略，优化教学设计，逐步形成课前学情测试、课中注重策略和课后加强反思的系统的教学模式.

【关键词】核心素养;微积分;教学策略

【基金项目】本文系江西省2019年基础教育研究课题之重点课题《基于数学学科核心素养发展的AP微积分教学实践研究（课题编号：NCSXZD2019-066）》阶段成果之一

AP微积分是美国大学先修课程中的一门.笔者在近六年的微积分教学实践中，发现AP微积分的美方教材中较注重知识的广度，但深度略有不足.学生通过学习可以掌握微积分的各类基础知识，但是对知识的理解与数学抽象的水平没有进行相匹配的发展.美方教材的课后习题以基础知识的举一反三和基础的应用问题为主体，深层次的问题较少.本文尝试对比美国AP微积分与国内高中教材相应的教学内容，尝试从中国学科核心素养中，找到一些抓手，进而促进学生的思维发展.

一、美国AP课程简介

AP课程（美国大学先修课程）是在高中阶段开设，供学有余力的高中生选修的具有大学学术标准及学业水平的课程，在课程结束后，学生参加由美国教育考试中心（College Board）统一命题的全球考试.AP课程在全球90余个国家和地区同步进行，通常在每年的五月进行全球统一考试.成绩按照5分制进行判定，每年College Board会根据当年学生的考试情况进行划线，分出5到1五个档，考生如果考试分数在3分或3分以上，那么可以在大学入读前抵一部分学分.AP课程被视为高中的学术挑战课程，学生如果可以修读AP课程并获得较好成绩，会在大学申请中获得较大关注.AP课程目前共开设了38门，包括数学类、经济学、物理学、生物、英语、政治等.AP数学类课程包括微积分AB、微积分BC和统计学，其中微积分AB和BC涉及的内容主要有极限、导数、积分、级数等.

二、AP微积分与国内高中新课标数学教材相应内容的比较

AP微积分分为AB和BC两类课程，其中微积分BC是微积分AB的延伸和拓展，一般微积分AB对应大学本科一年级上学期的内容，微积分BC对应大学本科一年级一学年的内容.课题组将美国AP微积分BC与国内高中数学教材对应内容进行比较后发现，美国AP微积分BC课程比国内高中数学教材的知识点要广，应用度要高，但是在相同知识点上，国内高中数学教材要更深.

具体增加内容表现在：在极限理论中，美国AP微积分BC增加了渐近线与无界的性质;在导数内容中，美国AP微积分BC增加了反函数、隐函数求导，参数方程、极坐标方程及向量函数的求导，二阶导数及应用，函数的凹凸性及拐点，欧拉方法得到函数的近似解等;在积分内容中，美国AP微积分BC增加了分部积分法、广义积分、微分方程求解建模与黎曼和估值等.

三、AP微积分与国内高中新课标数学教材相应教学理念的比较

国内高中数学教材侧重一元函数导数及其应用，强调应通过丰富的实际背景和具体实例引入导数的概念，引导学生感悟极限思想、感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义.AP微积分侧重用多种方式来理解微积分，比如图示、数值、公式及文字描述等，同时强调了这四类表示之间的有机联系与转化.在学科育人的视角下，AP微积分课程缺少明确的抓手;国内高中以数学学科核心素养为抓手，重点要求通过微积分学习，提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理素养.

四、数学学科核心素养视角下的AP微积分教学策略

课题组以数学学科核心素养为第二主线，AP微积分教学内容为第一主线多次尝试课堂实践，例如指向数学抽象素养发展的极坐标系的概念，指向数学建模素养发展的最小二乘估计，指向直观想象素养发展的立体几何中的翻折问题等.

在“极坐标系”一课中，课题组以狙击手与观察员的合作定位为切入点，观察员通过望远镜确定目标对象位置后，告知狙击手2点钟方向，50米.随后形成“这样可以定位吗？为什么？要素有哪些？可否尝试画图？还有哪些补充？”等问题链.在实际背景中，尝试建立数学模型，抽象出极坐标系的要素，充分体现将核心素养与知识相结合的目标.

在“最小二乘估计”一课中，课题组以神眼追踪的现实素材为切入点，素材中公安局的足迹鉴定专家可以通过嫌疑人脚印的长度推断出身高，于是提出课堂问题，即根据42码的鞋能否预测此人身高？随后以此设计问题链：鞋码与身高是函数关系吗？如何研究相关变量的关系？收集的数据如何分析？有了直观猜想，如何建立模型验证？一堂课，以实际问题开始，引出数据收集、数据整理、数据分析、数学建模、统计反思、检验预测等环节，实现了核心素养与课堂教学的深度结合.

在多次教学尝试后，课题组结合课堂效果、学生反馈与听课感受，总结出如下教学流程图（图1）：

1.單元为本，完成课程目标设计

教师根据College Board的课程理念与教材内容，以单元为基本单位，进行完整的教学设计，制订出课时数量、知识与能力目标的分层等，参照数学学科核心素养分类分层，将数学知识与数学学科核心素养进行对应，在美国AP课程的基础上，完成知识、能力、素养的三维课程目标设计.例如在导数的概念教学中，知识层面是对一元求导法则的理解，能力层面是对一元求导法则的运用;素养层面是一元求导法则的来由，能否自行推导出求导法则.教师在有了三维课程目标设计后，在课堂教学中，尝试构建情境、为学生实现推导法则的过程形成脚手架，跳出只讲公式，不求理解的解题心态.

2.学情测试，精准掌握素养水平

为了精准教学，教师在课前需要进行学情测试.测试以问题为载体，以素养为导向，结合学生的最近发展进行设计.在设计学情测试时，教师可以参考SOLO分类法理论模型进行设计.例如在设计数学建模的学情测试时，参考普通高中数学课程标准中的数学建模素养的三个水平和SOLO分类法理论中的五类结构层次.学情测试不一定要难倒学生，而要真实地反映学生的素养水平，因此要进行适宜的设计，由易到难，由单个到联结.

3.丰富策略，为素养发展提供保障

根据学情测试的分析结果，教师应从创设合理情境、尝试多元表征、设计变式练习、使用信息技术四个教学策略出发，设计课堂教学，实现素养的发展.

合理情境一直是数学课堂的重心.

情境的意义在于将数学概念赋予生命力，有背景、有过程、有结论，能重现概念的产生与形成过程;能再现矛盾的产生与解决过程.例如在极坐标系的教学中，除了课本上原有的海上定位实际背景外，以狙击手定位目标为背景更有利于概念的引入，实现学生的数学抽象素养的发展.

多元表征是美国AP微积分教材中的教学重点.在教材中，强调对一个概念的理解要从图示、表格、逻辑表达式与口语表达式四个维度开展.一个看似简单的函数，在通过图像、表格、解析式三个角度分析后，能让学生有更立体的感受，能有效地发展学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养.

变式教学是我国顾泠沅教授在青浦教改实验时提出的教学方法.通过近十年的探索，变式教学给青浦教育带去了翻天覆地的变化.在微积分的教材中，题目的变式相对较淡薄，一般是教材中的例题给出的方法，在课后习题中可以直接套用，不需要过多转换.除了教材外，全球AP统考题中的计算题也是以同类为主，只有在概念辨析时会有一定的变式.为了更深入地理解定理、法则、运算方法，教师可以在课堂教学中融入变式教学，会有较好的效果.例如，为了理解微分方程的分离变量积分法，教师可以从基础题型入手，设计变式题，融入基本求导公式与链式法则，实现学生逻辑推理思维的发展;为了使学生理解related rates这个概念，教师可以从书中举的体积、面积、角度、相似性等常规模型突破，尝试融入其他背景元素，恰当地变式，使学生的概念理解实现深度化，能较好地迁移到新的背景中.

信息技术的使用是微积分教材中较为重视的一块.每一节内容后，均有相关知识在计算器中的实现.一般国外推荐的计算器有Ti系列（德州仪器）、Casio（卡西欧）、HP（惠普）等.教师可以在开学前组织同学们按照自己的使用习惯进行购买，在正式上课时，为了辅助教学的需要，可以直接用图形计算器进行计算，这不仅是常规的数值计算，还包括了函数图像、立体几何图形等.例如，为了理解积分在旋转体中的应用，以Geogebra的3D绘图或Ti-nspire图形计算器为抓手，将复杂的几何图形立体化、直观化、可视化，实现学生的直观想象思维的发展.

4.课后巩固，素养与思维的拓展与延伸

教师在课時任务完成后，除了指导学生完成教材中的作业外，需从思维导图、自主命题和数学活动三个角度对学生的素养与能力进行巩固与提升.

思维导图是表达发散性思维的有效图形思维工具.在思维导图的使用中，注重概念之间的逻辑连接，减少不重要的知识树枝，关注知识主干.通过思维导图，可以让学生形成对知识的抽象化、结构化和形象化.例如在微积分的极限、导数与积分三大块中，学生通过梳理知识、理解方法与感悟素养，整理出如下思维导图（图2）：

在思维导图的基础上，我们设计了菜谱学习单，即以一道菜为标准，将所需的物品质量和数目用数学知识来表达，通过数学知识来运算求解，得出答案，完成菜品的制作.菜谱学习单有点类似原创题，但现在是将现实情境与解题进行有机结合.学生需要先列出有哪些知识点，知识点可以设计哪些计算题，得到大致怎样的数据，再将所列情况与实际尝试匹配，当匹配度足够高时，可以选择相应的菜完成菜谱制作.样例如下（图3）：

总之，教师在AP微积分的教学中，应以单元设计为框架，细化至课时设计，从知识、能力、素养三个维度进行解构，课前注重前端调研，课中瞄准策略运用，课后引导活动升华，循环往复，逐步推进学生的数学学科核心素养的发展.

【参考文献】

[1]马雪波.核心素养视角下高中数学教学策略[J].中学课程辅导（教学研究），2019，013（005）：20.