领悟设计意图 提高解题能力

摘 要：文中从文字表述、图形设置、概念界定等三个方面分析了沪科版初中数学课本上一道习题的设计意图，展示了基于该设计意图的解法思路，最后介绍了应用拓展.

关键词：设计意图 一题多解 解题能力

1 试题呈现

如图1是正四边形、正五边形、正六边形，试分别计算其相邻两条对角线的夹角α4，α5，α6，并探究正n边形相邻两条对角线的夹角存在什么规律.图1

这是义务教育沪科版九年级下册《数学》第24章圆复习题A组中的最后一道试题.该题以正多边形为素材，编者把它设计成一道探究規律型试题，其考查了九年级学生应用正多边形的性质探究图形类问题的能力，从难度上说应该属于中档题.

2 设计意图

下面从三个角度分析教材编写者的设计意图.

2.1 从原题中“正四边形”文字表述的角度

题目中第一个图是九年级学生们非常熟悉的正方形，然而题目中把这个图形表述为“正四边形”.为什么此处表述为“正四边形”呢？由于正方形概念在学生脑海中已经根深蒂固了，第一眼遇到“正四边形”，和我们初学英语时习惯把英语翻译成汉语后再去理解一样，学生也要经历“正四边形”到“正方形”的思维过程，这不是绕了个弯了吗？尽管正方形就是正四边形，只是文字表述不一样，二者有着一样的内涵.在初中数学中，我们很少见到“正四边形”这一说法.在遇到这样的四边形，一般都说成正方形，这是习惯问题.其实编者考虑到后两个图形分别是“正五边形”“正六边形”，后续还有正七边形、正八边形、……、正n边形，所以把第一个图形说成是“正四边形”，能够体现几个图形名称之间的一脉相承性，让学生在解决问题时读起题来更加顺畅，审起题来更加连贯.

2.2 从第二个图形中添加“外接辅助圆”的角度

试题中文字部分很干净利索，与文字相对应的第二个图形本来是没有外接圆的，为什么在配套的三个图形中仅仅第二个图添加了外接圆呢？我们知道，正方形、正六边形都是非常特殊的正多边形，学生们在小学阶段就接触过了.涉及此类图形的有关问题，也已经变得很熟悉了.而对于正五边形的研究就比较靠后，见到涉及正五边形类的问题也比较少，对于此类问题大多数学生都比较生疏，在求α5时有一定的难度.加上一个外接圆，暗示了我们可以借助正五边形的外接圆来求α5的大小，启发了我们可以借助外接圆来研究边数更多的正七边形、正八边形、……、正n边形等相邻对角线的夹角.

2.3 从“相邻对角线夹角”概念界定的角度

问题中把α4，α5，α6称为是正多边形中相邻对角线的夹角，目的在于强调这几个角是由如图所示正多边形中的对角线（把这些对角线叫做相邻对角线）所形成的夹角.我们仔细想一想，题目的表述中是不是还有另外一层涵义呢？其隐含着在正多边形中还有其它一些非相邻对角线之间的夹角问题，对于这样的问题我们又能否通过同样的策略来加以解决呢？对于正方形，它只存在两条对角线，这两条对角线是相邻的，我们无可厚非.然而，正五边形、正六边形、正七边形等，他们的对角线远不止两条，按照编者的意图，学生们在读题时需要关注形成α5，α6等角的对角线，更方便于我们找到α5，α6等角所在的三角形，让我们能够清晰地看到内角与外角之间的关系，也能够更清晰地看出圆周角与圆心角之间的关系.

3 解法思路

3.1 利用正多边形的性质、等腰三角形的性质及数据的变化规律

针对初中数学教材中的习题，在讲授习题解法的同时，我们还应该引导学生走进编者的内心深处，从多个角度如文字表述、配套图形、编排位置等去加以揣摩，领悟习题的编写意图，感受教材编写者的数学智慧，选择合适的解题路径，引领学生从习题中汲取更多的养分，拓展学生的数学思维，提高学生的数学解题能力.

参考文献

[1]陈华安.一道习题一题多解的教学与思考[J].中学数学研究，2011（11）

[2]方金宝.一道课本习题的教学实录及思考[J].高中数学教与学，2018（06）

[3]蒋满林.由一道课本习题引发的探究教学[J].数学教学通讯，2011（03）

作者简介 赵立春（1973—），男，安徽肥西人，中学数学高级教师，主要进行初中数学习题教学策略研究，曾获安徽省基础教育教学成果一等奖，荣获合肥市政府津贴，合肥市中学数学学科带头人，在省级以上期刊发表论文30多篇.

本文系安徽省教育信息技术课题“基于云平台资源进行初中数学图形教学的策略研究”的阶段性研究成果（课题批准号：AH2019099，主持人：赵立春，刘钰）.