在估算的过程中培养和提高估算能力

李树臣 张开民

【摘 要】 数学能力是数学素养的核心构成要素，加强数学能力的培养至关重要.估算能力是数学能力不可或缺的重要组成成分.数学估算能力是在数学知识的学习和应用知识解决问题的过程中形成、发展和提高的，离开“过程”无法培养学生的估算能力，这些过程主要指掌握知识的过程、形成能力的过程和问题解决的过程.

【关键词】 估算能力;数学概念;方程解法;问题解决

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）指出“数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养”[1].数学教学必须立足和落脚于培养学生的数学素养，培养学生的数学能力是提高数学素养的重要举措.

估算的意思是大致推算，近义词是预算、估计等，估算是一种能力，是计算能力的重要组成部分.《课标（2011年版）》）非常重视对学生“估算”能力的培养，共提及“估算”13次，“估计”61次.估算意识的形成、估算能力的培养和发展都离不开“过程”，这里的过程可概括为下面三个.1 掌握数学知识的过程

《课标（2011年版）》界定的“课程内容”，主要包括数学概念、数学命题和数学论证，我们不妨把这些内容统称为“数学知识”，教材对这些知识的设计展现了“知识背景—知识形成—揭示联系”[1]的过程，教学中也要努力体现这个过程，这样有助于学生理解知识的产生和发展过程，揭示出知识之间的相互联系，从而把握数学的本质[2].

数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式[3].数学概念是重要的基础知识，是学生学习数学的重要内容，学生对概念的掌握情况直接影响着学习的效果.

初中数学教材中的很多概念都有其产生的过程，教学中，教师可创设恰当的问题情境，以此引导学生在探索活动的过程中学习概念，学生在经历这些过程当中，有时需要进行适当的“估算”，从这个意义上讲，“估算”有助于数学概念的建立.

案例1 无理数概念的建立过程.

无理数的引进是学习实数的关键，学生往往有这样的疑问：既然“无理”，为什么还叫“数”呢？为了让学生接受这个数，首先应设法让学生感到这个数是客观存在的，同时意识到它是无限的.根据《课标（2011年版）》提出的数学教学应“激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考”[1]的理念，笔者设计了下面的这个“故事”情节.

巴霍姆想到大草原上买一块地，他问卖地人价钱如何，聪明的卖地人说：

每天1000卢比，就是你给我1000卢比，太阳初升时你可以出发，到日落时走过的路所围成的土地就归你.卖地人还提醒说，如果在日落之前返回不到原来的出发点，你就一点地也买不了，这1000卢比就算白花了.

巴霍姆认为这样很合算，就付给了卖地人1000卢比.第二天早早地来到了草原，等太阳一出来，他就疯狂的奔跑.他先向正南笔直跑了10千米，然后拐弯向东又跑了13千米，再拐弯向正北跑了2千米.突然，他发现时间不早了，恋恋不舍的直奔早上的出发点跑去，用尽力气拼命的跑，总算在太阳完全落山之前赶到了出发点，只见他向前一扑，口吐鲜血.坚守信誉的卖地人把地留给了巴霍姆的后人.

【数学思考】根据故事提供的信息，思考并解答下面两个问题：

（1）画出巴霍姆跑过的路线图，你认为这是一个什么图形？

（2）求出巴霍姆所跑的路程（保留根号），相互交流自己的思考方法.

设计意图 学生对课堂是否有“兴趣”直接影响着课堂教学的效果，教师在备课中一定要认真研读课程内容，精心设计能使学生感兴趣的问题系列.让学生感兴趣的方法很多，如“讲故事”“做游戏”就是常用的方法之一，目的是让学生在听故事、做游戏的同时，产生自觉探究数学知识的“欲望”.为激发学生投入到积极学习无理数的过程中，我们设计了这个令人惋惜的故事.

在学生听完故事后，设计了两个问题，几乎所有学生通过分析、思考都能给出问题（1）的解答，画出图1所示（巴霍姆跑过）的路线图，也知道这是个梯形.

对于第（2）个问题，大部分学生也能给出下面的解答：

如图2，在Rt△ACB中，AB=BC2+AC2=132+（10-2）2=233，从而求出这一天巴霍姆所跑的路程为25+AB=（25+233）千米.

【探究发现】

233是個特殊的数，为了“搞清楚”这个数，请同学们探究下面问题：

（1）233可能是整数吗？如果不是整数，你能估计233在哪两个连续自然数之间吗？

（2）233可能是整数15，16之间的某一个分数吗？相互讨论.

（3）233可能是有限小数吗？可能是循环小数吗？

（4）由此你判断233是一个怎样的数呢？

设计意图 本案例起始于一个故事，在学生听完故事后，给出了“数学思考”与“探究发现”两个环节，第一个环节的目的是让学生通过计算巴霍姆所跑的路程得到一个新数（直角三角形的斜边长）233（体现出扩充数系的合理性），这是学生探究第二个环节中问题的基础.

对问题（1）大部分学生都能根据225<233<256，估计出233是在15和16之间的一个数.对于问题（2），学生通过举例、讨论都能得到233不是15和16之间的一个分数的结论.这时学生已经意识到233不是有理数.

学生通过对问题（3）的探究，发现233是一个无限不循环小数.给出问题（4）的答案：这是一个与有理数不同的新数（体现出建立无理数概念的必要性）.

教学时，教师及时指出：为了数学自身的发展，必须引进一个新的概念.

按照这样的设计，引进无理数概念，学生经历了“听故事→思考问题→感受新数（反映了扩充数系的必要性）→探究新数特点（体现出扩充数系的合理性）→给出定义”的过程.

这种把知识学习寓于故事之中的教学，能激发学生积极的进行观察、猜测、计算、推理、验证等活动，在这些活动的过程中学习了无理数概念，培养和提高了学生的估算能力，落实了《课标（2011年版）》提出的“能用有理数估计一个无理数大致范围”的目标，同时培养和发展了学生的数感、符号意识、运算能力、推理能力等数学素养.

这种设计能体现出《课标（2011年版）》倡导的“面向全体学生”的理念，尊重了学生的个体差异，对于第一个环节的问题，学生都能解答.第二个环节的问题是为“学有余力”的学生设计的.这种设计体现了《课标（2011年版）》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念.

教师应当精心设计问题情境，引导学生围绕“问题”积极开展实验、计算、探究、交流、发现等数学活动，在活动的过程中，学生不仅能掌握知识，形成能力，还能体验到数学活动中充满着探索性与创造性，以“唤醒”学生的求知欲和好奇心，不断提高学生的思维品质和思维水平.2 数学能力的形成过程

《课标（2011年版）》在“课程总目标”中提出的第二条要求是：学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[1].这实际上是《课标（2011年版）》对学生数学能力目标提出的宏观要求.认真研读和分析可以发现，数学能力至少包含如下10种能力[4]：

（1）运算能力;（2）几何直观能力;（3）数据分析能力;（4）感受随机现象的能力;（5）合情推理能力;（6）演绎推理能力;（7）观察能力;（8）数学建模能力;（9）合作交流能力;（10）数学思考能力与表达能力等.

具体到每一种能力又可以包括若干种“子能力”，例如数学运算能力就包含估算能力，教学中培养估算能力的“载体”太多了，如实数的运算，角度的测量、含有π的计算、估算一个无理数（如233）的值，估计方根的范围等等.

这些知识都可以有效的培养学生的估算能力，借助于解方程也可以培养估算能力.

方程是《课标（2011年版）》界定的重要课程内容，在初中阶段学生将先后学习一元一次方程、一次方程组、分式方程和一元二次方程.其基本流程分为“方程概念—方程解法—方程应用”三部分[5]（图3）：

理解方程概念是关键，灵活解方程是基础，解决实际问题是“落脚点”

对于解方程，《课标（2011年版）》在第三学段的“课程内容”中提出了四条具体要求[1]：

（1）经历估计方程解的过程;

（2）能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程;

（3）掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组;

（4）能解简单的三元一次方程组.

大多数老师在教学中非常重视后三条，而对于第（1）条则重视不够.这样就失去了一个培养学生估算能力的好机会.为了全面培养学生的数感、符号意识、运算能力等素养，建议教师在教学中，利用好“解方程”载体，强化对学生“估算”能力的培养.

案例2 用估算的方法解方程3x+1=64.

3x+1=64是一个简单的一元一次方程，常规解法非常简单，对于学生而言，用估算法解方程是一种新的“方法”，教学时引导学生这样估算：

（1）首先估计一个数，例如驗证x=15是不是方程的解，把x=15代入方程，左边=46，右边是64，显然估计值（x=15）偏小了，所示x=15不是方程的解;

（2）然后换一个比15大的数重新估计，例如x=25，把x=25代入方程，左边=76，右边是64，估计值（x=25）偏大了，所示x=25不是方程的解;

（3）由（1）（2）可知，方程3x+1=64的解应该在15到25之间，可以在这个范围内再取一个整数进行尝试，你准备取怎样的一个数进行尝试？你能得到怎样的结论？

（4）请根据下面表格中的步骤，估算方程3x+1=64的解，并进行检验：

你得到这个方程的解了吗？是多少？

（5）你对这种“估算—检验”的方法有什么体会？请相互交流.

设计意图 对于一个方程，如果把一个数a1代入它的左边，左边小于右边，同时把另外一个数a2代入它的左边，左边大于右边，那么方程的解一定会在a1与a2这两个数之间.只要逐渐增大a1的值，同时缩小a2的值，即逐渐缩小a1与a2这两个数的差，就会越来越接近或者求出方程的解.经历这样的估算过程，学生不仅能找出方程的解，而且还能感悟到逐渐逼近的数学思想.基于这样的想法，我们在给出一元一次方程的有关定义后，设计了这个案例.

为引导学生体验并掌握估算方程解的一般方法，我们以方程3x+1=64为例，设计了5个具有“递进”层次的小问题，目的是让学生经历估算方程解的一般过程，学会通过尝试、逐步调整和填表等数学活动，直至估算出方程3x+1=64的解.

问题（1）（2）给出了判断一个数是否为方程解的“全”过程，这是用估算法解方程的基础，学生有了解答问题（1）（2）的经验，不难给出问题（3）（4）的解答，并且给出对问题（5）的体会.

估算方程的解不是一次、两次就能估算出来的，往往需要经历多次估算才能“找”出方程的解，因此，估算方程的解是一个过程.在这个过程中，学生的知识、能力和方法都能“伴随”着估算的进行得到培养和提高，并且还能不断积累估算的经验，这些都是学生数学素养中不可或缺的因素.3 解决问题的过程

学习数学的任务之一是利用数学知识解决实际问题，在这个过程中，既要用到具体的基础知识，又能反映出学生的数学能力.所以《课标（2011年版）》指出，数学教学应根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动.这样的活动应体现“问题情境─建立模型─求解验证”[1]的过程.

在解决有些实际问题时，估算比精确计算更有意义.

案例3 你能估计折纸的高度吗？

为了引出“估算”的概念，从而使学生感受到学习估算的必要性，逐步培养他们的估算意识，教学中可以借助实验操作，引导学生进行折纸活动：

取一张报纸，将它对折，再对折，你估计最多能将它折几次？并提出两个问题让学生思考与探究：

（1）你能将它对折8次吗？为什么？

（2）如果能将一张报纸连续对折30次，你估计它的厚度是多少？相互交流

设计意图 估算是根据具体条件及有关知识对事物的数量或算式的结果作出的大概推断或估计.在解决有些实际问题时，估算比精确计算更有意义，为了尽早的让学生意识到“估算”在日常生活以及学习中有着广泛的应用，初步了解估算的意义，养成估算的意识，笔者在七年级上册学习了“有理数的乘方”后，设计了这个案例.

教学中，在学生探索、思考、交流之后，可以这样引导学生估算：

一张普通报纸的厚度大约为0.01厘米，把一张纸连续对折8次后，它的厚度约为0.01×28=0.01×256=2.56（厘米），这相当于把一本256页的书对折一次，这几乎是不可能的.如果能将一张报纸连续对折30次，那么它的厚度约为：

由此可以估计出将一张报纸连续对折30次后的厚度将是100千米，这个厚度将超过珠穆朗玛峰的海拔高度11倍之多，这显然是不可能的.

学生通过对这个问题的探究，能感受到0.01×230是一个大数，体会到估算在解决现实生活问题中的意义，初步了解到估算的策略和价值，有助于发展学生的数感，逐步树立起“估算”的意识.

根据《课标（2011年版）》提出的“呈现内容的素材应贴近学生现实”[1]的建议，我们在教学中应从学生实际出发，精心选择教学素材，让学生去阅读、理解，从而意识到有些问题需要准确计算，有些问题只要通过估算得到近似值就可以.

案例4 设计一个估算π值的方案.

圆周率π是圆的周长与直径的比值，也等于圆形的面积与半径平方之比.它是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值.在日常生活中，我们通常都用3.14作为π的近似值，去进行近似计算.

π是一个无理数，估算π值的方法有多种，下面是利用概率知识进行估算的方案：

【操作发现】

（1）在一张纸上画一个正方形ABCD及其内切圆⊙O（如图4），则正方形ABCD的边长a与内切圆⊙O的半径r的关系是______;

（2）随机向图4中撒10粒小米，则落在⊙O内的小米有______粒，落在正方形ABCD内的米有粒;如果撒20粒小米，则落在⊙O内的小米有________粒，落在正方形ABCD内的米有____粒.

（3）由此可得，随机向正方形内投一粒小米，则小米落在圆内的概率是_______.

【实验探究】

（4）随机向图4中撒一把小米，统计落在⊙O内的米粒数m，以及落在正方形ABCD内的米粒数n，并计算比值mn;

（5）你认为mn和前面问题（3）的结果有怎样的关系？相互交流自己的看法.你能利用这个关系估计出π的值吗？

（6）相互交流如何能提高对于π的估计精确度？

设计意图 在学生学习了用频率估计概率的知识后，学生已经明确知道，如果在一次试验过程中，用A表示事件“试验落在区域D中的一个小区域M中”，则事件A发生的概率为.为了让学生真正理解这个公式的意义，同时培养学生的实验探究能力，我们设计了上面的实验活动.

整个方案分为“操作发展—实验探究”两个环节，学生通过观察与思考不难得到问题（1）的答案是a=2r;因为撒米的过程是随机的，所以学生对问题（2）得到的答案是不一样的;问题（3）的答案为圆O的面积正方形ABCD的面积=π4.

在第二个环节“实验探究”共设计了三个小问题：对于问题（4），只要一把小米的颗粒数不是很多，学生不难数出m与n的值，并计算出比值mn;通过对问题（5）的思考可以得到mn=π4，这是估算π的根本所在.学生对问题（6）交流的结论是：要提高对于π的估计精确度有两个途径：一是增加一把小米的颗粒数，而是进行多次重复试验.

随着科学技术的发展，数学估算越来越显得重要，教学中应从学生熟悉的生活情境或者感兴趣的事物出发，精心设计一些“估算”的问题，引导学生在探究问题的过程中，通过估算达到解决问题的目的，从而培养学生的估算意识，不断提高其估算能力，进而提高其数学素养.

参考文献

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012

[2]李树臣等.数学教学必须突出数学本质——教学中突出数学本质的五个宏观途径[J].中学数学杂志，2020（6）

[3]田万海.数学教育学[M].杭州：浙江教育出版社，1992

[4]李樹臣.深入研究课程标准，加强数学能力培养[J].中学数学杂志，2016（4）

[5]李树臣.引导学生在过程中感悟数学思想——兼谈学生感悟方程思想的根本过程[J].中学数学杂志，2020（4）