基于数学核心素养直观想象下的正方体截面图形问题

贾立平

【摘要】正方体是大家比较熟悉的几何图形，其截面（用一个平面去截几何体表面，此平面被几何体所截的部分）都有哪些图形呢？过已知不共线三点作几何体的截面问题比较抽象，把空间问题平面化是解决此类问题的常用手段.本文将详细地阐述确定截面图形的两种常用方法，希望对同学们了解截面图形、解决与截面有关的问题有所帮助.

【关键词】直观想象;正方体;截面;空间问题平面化

下面我们来看一道与截面有关的试题：

引例 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是AA1，BC，C1D1的中点，现有下列结论：（1）△EFG为正三角形;（2）异面直线A1G与C1F所成的角为60°;（3）AC∥面EFG.其中正确的结论的编号是（ ）

A.（1） B.（2）（3） C.（1）（2） D.（1）（3）

想要解答本题，我先来介绍一种学生较容易掌握的找截面的方法——交线法，仅供大家参考.

下面我们来了解一下做截面图形涉及的定理与性质：

1.两点确定一条直线，三个不共线的点组成一个平面.

2.只有在同一个平面的两条直线才可能相交.

3.如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

4.如果两个不重合的平面有一个公共点，则两个平面的交线必定经过这个公共点.

交线法

运用该方法作图的关键在于确定截点（平面与几何体棱的交点），有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面.常见类型如下：

类型一：截面经过的三个点分别在多面体的棱上，且其中有两个点在同一个面的棱上.

例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求经过E，F，G三点的截面.

作法 （1）在底面AC内连接EF并延长，分别交DA，DC的延长线于点L，M;（2）在侧面DA1内连接GL，交AA1于K;（3）在侧面D1C内连接GM，交C1C于H;（4）连接KE，FH，则五边形KEFHG即为所求（如下图）.

类型二：截面经过的三个已知点两两不在同一面的棱上.

例2 P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1，A1D1，AB上，试画出过P，Q，R三点的截面.

作法 （1）先过P，R两点作辅助平面，过点R作R1R∥BB1，交A1B1于R1，则平面CRR1C1为所求辅助平面;

（2）在平面CRR1C1內延长R1C1，交RP的延长线于M;

（3）在平面A1B1C1D1内，连接MQ，交C1D1于点S，延长MQ交B1A1的延长线于点T;

（4）连接TR，交AA1于点N，延长TR交B1B的延长线于点K，再连接KP交BC于点L;

（5）连接RL，PS，QN，则多边形QNRLPS即为所求（如下图）.

下面回到引例.

引例中（1）与（2）较容易判断，其中（1）正确，（2）错误.

（3）为难点，面EFG截正方体的截面图形为六边形EIFKGJ ，如下图所示.作出这个截面图形并不是很容易，其截面类型同类型二，具体作法如下：

（1）取边A1B1 的中点R，连接GR，RB，CG ，得到矩形GRBC;

（2）在矩形GRBC内延长GF，与RB的延长线交于点W，则W∈面ABB1A1;

（3）连接EW，EW∩AB=I，WE的延长线交B1A1的延长线于点H;

（4）连接HG，HG∩A1D1=J，HG的延长线与B1C1的延长线交于点S;

（5）连接FS，FS∩CC1=K;

（6）连接GK，EJ，IF，则六边形JEIFKG即为所求的截面图形.

故（3）正确，本题答案为D.

除了以上常见的截面类型，还有截面经过的三个点中有一点或多点在多面体的面上的类型，方法同类型二，同学们可以自行研究，此处不再加以赘述.

练一练1 （2013年安徽省理科数学试题第15题）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点.过A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.

（1）当0

（2）当CQ=12时，S为等腰梯形;

（3）当CQ=34时，S与C1D1的交点R满足C1R=13;

（4）当34

（5）当CQ=1时，S的面积为62.

解析 如下图所示.

答案 （1）（2）（3）（5）.

练一练2 一个透明密闭的正方体容器中恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形;（2）四边形;（3）五边形;（4）六边形.其中正确的结论是（ ）

A.（1）（3） B.（2）（4）

C.（2）（3）（4）D.（1）（2）（3）（4）

解析 正方体容器中盛有容器一半容积的水，任意转动这个正方体，其水面总是过正方体的中心，所以这个题的本质就是过正方体中心的截面都可以是什么形状的.三角形、五边形的截面不过正方体的中心，故（1）（3）不正确;过正方体的一对相对的棱和中心可以做一截面，截面形状为长方形，故（2）正确;过正方体一面上相邻两边的中点和中心的截面为正六边形，故（4）正确.所以选择B.

练一练3 （2018年全国Ⅰ卷）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

A.334 B.233

C.324 D.32

已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为A1B1的中点，则截面的面积为;若截面将正方体分成体积比为2∶1的两部分，则A1KKB1=.

解析 正方体下底面对角线AC与上底面对角线A1C1平行，K为A1B1的中点，取B1C1的中点K1，连接KK1，则KK1∥AC，连接K1C，则梯形ACK1K即为截面图形.根据正方体的棱长为1 ，易求得截面面积为98.易知当点K在棱A1B1上运动时，截面图形仍为梯形ACK1K，截面将正方体分成体积比为2∶1的两部分，则几何体KB1K1-ABC （棱台）的体积为正方体体积的13，设KB1=a，