以纸为媒：明慧课程的数学实践

陆军

摘要：“纸的世界”是以纸为媒介，以操作探究为手段，以思维发展为目的的特色课程。它打破了操作和思维的界限，让动手做与用脑想得以有机融合。“纸的世界”特色课程开发关注数学学科特点以及儿童认知规律，注重趣味性、探究性、文化性，其课堂实施主要包括问题驱动、操作探究、意义建构和深化拓展等环节。

关键词：纸的世界明慧课程操作探究思维发展

明慧课程是明道课程的三大板块之一，以“涵养智慧”为核心理念，从人文智慧、数理智慧、科技智慧三个维度创生。其中，“纸的世界”特色课程作为数理智慧课程的一部分，以日常生活中常见的纸为依托，以问题解决、探究发现为主要学习方式，着力培养学生的数学思维品质。

一、“纸的世界”特色课程的教学价值

“纸的世界”特色课程与数学课程相关，建立在相应数学学科内容基础上。它创造性地以纸为媒介，通过涂画、折叠、旋转等活动，帮助学生深化数学理解、探索数学规律，进而提升数学思维品质。这样的活动使操作和思考深度联姻，让学生用操作支撑思考，用思考指导操作。具体说来，“纸的世界”特色课程的教学价值体现在如下三个方面：

（一）“做中学”得以落地

美国教育家杜威首先在《民主主义与教育》一书中提出了“在做中学”的理念，这一理念一经提出便产生了广泛的影响。在杜威的影响下，陶行知先生提出了“教学做合一”的观点，这一观点对于当时乃至现今的教育教学都具有重要的意义。事实上，动手操作既是学生思维的外显，又是促进学生思维的重要手段。我们开发的“纸的世界”24个课程资源都以动手操作为活动主线，让学生通过涂一涂、折一折、转一转来实现数学理解和规律探索。可以说，“纸的世界”特色课程让“做中学”得以落地。

（二）“想起来”真正发生

郑毓信教授认为，我们应由帮助学生“学会数学地思维”转向“通过数学学会思维”，即应当帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地思考，包括由理性思维逐步走向理性精神。“纸的世界”特色课程不是美术课，也不是手工课，而是数学综合实践课。它不是让学生成为一个熟练的操作工，而是引导学生通过操作领会数学的意义。该课程的操作探究是基于任务的，“动脑想”是课程的灵魂。

（三）“一起学”成为现实

“纸的世界”特色课程实施大多采用合作学习的方式。这一方面是知识学习的内在需要，课程设置的开放性问题，需要集体性思维;另一方面是操作学习的外在要求，很多操作仅凭个人很难完成，需要合理分工、合作完成。该特色课程让“一起学”成为现实。

二、“纸的世界”特色课程的内容开发

“纸的世界”特色课程是以纸为媒介和载体，以动手作为手段，以思维品质提升为目的的课程。我们以“纸的世界”为研究主题，明确了课程背景、课程目标、课程内容、课时安排，拟定了课程纲要，边开发、边实施、边改进，取得了一定的成效。

（一）内容设置

课程每个年级设置4个研究主题，一共24个主题：

一年级：图形大家族、探秘平面图形、神奇的纸圈、有趣的正方形。

二年级：有趣的巧板、走进角的世界、有趣的纸盒、好玩的折纸。

三年级：奇妙的剪纸、多彩的分数条、决胜24点、神奇的周长。

四年级：图形的密铺、揭秘特殊三角形、神奇的莫比乌斯带、纸飞机的研究。

五年级：究竟有多高、加法中的运算定律、数格点算面积、探秘七巧板。

六年级：巧做无盖长方体、卷纸的秘密、奇妙的五角星、面动成体我来玩。

古德莱德认为“课程”应该划分为五个层次，即五种不同的课程形态：“理想的课程”“正式的课程”“领悟或理解的课程”“运作的课程”“经验的课程”。“纸的世界”特色课程如何成为一个可运作的课程，并且成为学生经验的课程，很大程度上取决于课程的可操作性，它应该成为教师的实践蓝图。“纸的世界”特色课程每一课时的内容设置包括如下六个方面：活动主题、适合年级、活动背景、活动准备、活动过程、资料链接。无论是活动所需要的材料准备，还是课程实施的主要环节，抑或课后相应的知识拓展，“纸的世界”特色课程都做了较为细致的安排。

（二）内容特征

1.趣味性。“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”好奇贪玩是孩子的本性，“纸的世界”特色课程契合学生特点，开发了各种充满趣味性的活动主题，在折、拼、画、做等活动中积累活动经验，发展数学思维。从“紙的世界”课程资源的主题名称中就能够发现这种趣味性，如“奇妙的剪纸”“神奇的莫比乌斯带”“有趣的巧板”“面动成体我来玩”等。

2.探究性。首先，“纸的世界”每一课时的课程资源都充满探究的意味，如“究竟有多高”“卷纸的秘密”“探秘七巧板”“纸飞机的研究”等;其次，课程目标追求也在其中有所呈现，如“神奇的纸圈”就是探究如何撕（剪）纸使得纸的长度最长，再如“卷纸的秘密”就是探索怎么卷纸形成的圆柱体体积最大。

3.文化性。吕林海教授将数学理解性学习的发展层级界定为经验性理解、形式化理解、结构化理解以及文化性理解。“纸的世界”特色课程也一直在追寻文化性。其一，能够将数学史的内容融入课程之中，如“探秘七巧板”，介绍了七巧板的起源;“数格点算面积”，介绍了皮格是怎么发现格点与面积之间的关系的。其二，将数学与其他学科有机融合，如“奇妙的剪纸”与美术相联系，让学生体会对称之美、简约之美;“有趣的巧板”与语文学科相联系，用七巧板摆出成语故事、寓言故事等。

三、“纸的世界”特色课程的课堂实施

“纸的世界”特色课程的课堂实施主要有四个环节，即以开放性问题为引擎，以操作探究为手段，以意义建构为目标，以深化拓展为延伸。这四个环节既彼此独立，又相互关联，既有一定的阶段性，又不截然分离。下面以《巧做无盖长方体》一课为例谈谈“纸的世界”特色课程的课堂实施。

（一）问题驱动

张奠宙先生曾经提出，数学教育的四条特有原则是数学化、适度形式化、问题驱动、提炼数学思想方法。足见问题驱动的重要性。哈尔莫斯也认为，问题是数学的心脏。“纸的世界”特色课程的课堂实施也是以问题贯穿课堂的始终，既有统领全课的核心问题，也有引领环节的关键性问题。《巧做无盖长方体》一课，在课堂伊始就提出了一个既有开放性又有挑战性的问題：制作一个无盖的长方体需要几张长方形纸？

（二）操作探究

学生思维的过程应该遵循从动作性思维到表象性思维，再到形式化思维的过程。因此，动手操作理应是学生思维的基础，具有不可替代的作用。不过，我们不能为操作而操作，使学生成为机械的操作工。更为关键的是，我们要通过操作引导学生去探究数学的秘密。这一秘密当然要由学生自主获得。《巧做无盖长方体》分别让学生用五张长方形纸、三张长方形纸、两张长方形纸、一张长方形纸制作一个无盖长方体。学生在制作的过程中不断探索边与边、面与面之间的关系。在三张长方形纸的研究（见图1）中，教师追问：除了长12厘米、宽6厘米的小长方形可以与上面的大长方形可以做成无盖长方体，其他规格的长方形可以吗？学生在探究中发现，只要小长方形的三条边之和与大长方形的长或者宽相等就可以了，变与不变的哲学思想由此展露无遗。

（三）意义建构

建构主义认为，知识不是通过教师传授的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。所要建构的意义包括：事物的性质、规律以及事物之间的内在联系。《巧做无盖长方体》一课就是学生利用教师提供的材料，操作、思考、对话、分享，进而寻找制作成无盖长方体的各长方形之间的内在联系。如利用一张长方形纸制作无盖长方体，学生就通过剪、折、移、拼等手段，发现了边的内在规定性，进而形成多种制作方法（见图2—下页图5）。

（四）深化拓展

学生的学习是一个持续不断、循序渐进的过程。一堂课的结束并不意味着学生的探究画上了句号。学生理应带着问题走进课堂，带着更多的问题走出课堂。在“纸的世界”特色课程课堂实施的最后环节，我们总是留给学生问题，或者引导学生提出新的问题，进而让探索走出课堂，走进更广阔的世界。这些问题可以是对课堂探究的再深化，也可以是学生即将面临的新挑战。如《巧做无盖长方体》一课，我们设计了如下的课堂结尾：“用一张长方形纸做一个无盖的长方体，是不是任意尺寸的长方形都可以采用上述四种方法？如果把一张长方形纸卷一卷又可以得到怎样的立体图形呢？”这些问题有的引发了学生的认知冲突，有的则开启了学生新的探究历程。

综上，“纸的世界”特色课程充分尊重了数学学科的特点和学生的认知规律。教师创造性地开发和实施课程，学生则依托支架性素材，主动探究、积极思考、合作交流，深度学习得以真正发生。

参考文献：

[1] 吕林海.数学理解性学习与教学：文化的视角[M].北京：教育科学出版社，2013.

[2] 郑毓信.为学生思维发展而教[J].小学教学（数学版），2017（5）.

[3] 张奠宙.数学教育经纬[M].南京：江苏教育出版社，2003.

[4] 陶行知.陶行知教育文选[M].北京：教育科学出版社，1981.专题研究【编者按】“用教材教”，首先需要读懂教材、读透教材。在此基础上，则要基于学情，创造性地开发教材、运用教材。本期《专题研究》栏目，一起来看陆军老师和姜华老师对小学数学教材的解读与开发。