利用空间向量基本定理通解高考数学立体几何解答题

■浙江省杭州市余杭区教育局教研室 (特级教师)

高考中的立体几何解答题一般难度不大,属于中档题,但是,得分往往也不理想。解这类问题一般会考虑两种方法：综合法、空间直角坐标法(简称坐标法)。综合法计算量较少,空间想象能力要求高,有些需要添加辅助线,考生无绝对把握;坐标法降低了空间想象能力的要求,但在没有“墙角”的情况下,也会让一部分同学发怵,不能顺利建系便束手无策。

实际上,解决立体几何解答题还有一种往往被大家忽略的基本方法：利用空间向量基本定理求解(简称基底法)。

下面以近几年浙江高考数学立体几何解答题为例,对利用基底法解几类常见问题的方法、步骤演示说明。顺带指出,本文不具体比较三种方法的优劣,只是体现利用空间向量基本定理解决问题的通法意义。

1.线线、线面垂直,直线与平面所成角问题

例1(2018 年浙江高考数学第19题)如图1,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2。

图1

(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1;

(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值。

分析：根据已经条件,BA,BC,BB1长度已知,且两两夹角已知,可以选取为基底,然后用基底表示所需的向量、平面法向量。线面垂直可以考虑求向量的数量积,线面所成角的正弦值先求出直线所在向量与平面法向量所成角的余弦值。

于是得,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为

反思：基底法降低了空间想象方面的要求,解题具有明显的程序性,可以按部就班处理。①确定基底(比如：从同一个点出发,三个长度、两两夹角已知或易求的向量);②用基底表示所需的向量;③待定系数法确定所需平面法向量(如设为n=xa+yb+zc,这里设为n=a+xb+yc是为简化计算,有些情况下不能简化,参见下面例3);④根据待求、待证,设计合理的向量运算(线线垂直转化为求涉及向量的向量积,线线角、线面角转化为求向量所成角的余弦值等),并准确得到结果;⑤把计算结果翻译成立体几何有关结论(如：利用向量求出法向量与直线所在向量所成角的余弦值的绝对值,待求的是直线与平面所成角的大小(或某种三角函数值),注意两者之间的区别与联系)。

2.线线、线面平行问题

例2(2017 年浙江高考数学第19题)如图2,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点。

图2

(1)证明：CE∥平面PAB;

(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值。

分析：根据题设,PA,PD,DC长度已知,PA⊥PD,可以选取为基底,注意相应的数量积的运算。线面平行的判定可以考虑平面向量基本定理。

所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为

反思：①基底的选取方式不唯一,也可以选取不是同一点出发的三个不共面向量,基底要尽量有利于便捷地表示其他向量,便于计算;②本题可以选取同一点出发的向量为基底,如通过解三角形确定向量之间的夹角;③线线平行根据向量的共线来判定,线面平行一般采用待定系数找关系,再依据平面向量基本定理判断。

3.二面角问题

例3(2016 年浙江高考数学第19题)如图3,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3。

图3

(1)求证：BF⊥平面ACFD;

(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值。

分析：根据已经条件,CA,CB,CF长度已知,且两两夹角容易判定、求解。基底可以选取{CA,CB,CF},需要求出两个平面的法向量,一般来说,求出一个,另一个同理即可。

解：平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,平面BCFE∩平面ABC=BC,所以AC⊥平面BCFE,AC⊥BC,AC⊥CF,AC⊥BF。

又在三棱台ABC-DEF中,BE=EF=FC=1,BC=2,易得

反思：(1)法向量一般形式应为n=ma+nb+kc①,前面几个例题中取n=a+xb+yc②是出于简化计算,本题中,若设②的形式,由出现矛盾,其原因在于法向量在基底的其中两个向量b,c确定的平面内,处理方法一种是直接设成①的形式,再一种设成②的形式,若出现矛盾关系,再回到①;(2)理解两个平面法向量所成的角(三角函数值)与二面角的平面角的关系,注意转化为立体几何结果的等价性。

从以上三个例题可以看出,基底法在解决立体几何位置(垂直、平行、所成角)关系问题时具有通性通法意义,解题可操作性强,在理解原理的基础上,大部分同学可以熟练运用。当然,综合法、坐标法、基底法各有优劣,能够根据具体问题灵活选择方法是解题追求的理想境界。