例说二次函数解题策略

文杨绍平

（作者单位：江苏省溧水高级中学附属初级中学）

二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的内容，主要考查二次函数的概念、图像、性质及应用，主要是为了考查同学们的综合运用能力及解决实际问题的能力。其中，函数的实际应用以及其与几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题。

下面结合具体例题谈谈二次函数的解题策略。

一、确定函数解析式

例1已知二次函数的图像经过点（2，0）、（-4，0）、（-1，9），求此函数的解析式。

【解析】方法一：待定系数法。设函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点（2，0）、（-4，0）、（-1，9）代入可求得y=-x2-2x+8。

方法二：交点式法。设函数解析式为 y=a（x-x1）（x-x2）（a≠ 0），将点（2，0）、（-4，0）代入得 y=a（x-2）（x+4），再将点（-1，9）代入可求得y=-（x-2）（x+4）。

方法三：顶点式法。由函数图像经过点（2，0）、（-4，0）可得函数图像的对称轴为直线x=-1，从而得到点（-1，9）就是函数图像的顶点，于是设y=a（x+1）2+9，再将点（2，0）或（-4，0）代入得：y=-（x+1）2+9。

【点评】二次函数解析式可以通过待定系数法、交点式法、顶点式法等多种方法来解决，解题时选择适当的方法会达到事半功倍的效果。

二、函数图像与性质

例2已知二次函数y=2（x-1）（xm-3）（m为常数）。

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；

（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？

【解析】（1）方法一：根的判别式法。看到“二次函数的图像与x轴总有公共点”的个数问题自然联想到计算“b2-4ac=4m2+16m+16=4（m+2）2”，所以不论m为何值，关于x的一元二次方程2（x-1）（x-m-3）=0总有实数根，进而判断二次函数的图像与x轴总有公共点。

方法二：交点式法。要求二次函数y=2（x-1）（x-m-3）（m为常数）的图像与x轴的公共点个数问题，即求关于x的一元二次方程2（x-1）（x-m-3）=0（m为常数）的实数根的问题，此题很显然得到方程的解x1=1，x2=m+3。当m+3=1，即m=-2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠-2时，方程有两个不相等的实数根。故不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点。

而有些问题需要通过变形才能得到交点式，如：

已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a、m为常数，且a≠0）。

求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。

此时若用根的判别式的方法进行证明就显得比较麻烦，而若想得到二次函数的交点式，此题计算就比较简单：y=a（x-m）2-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）。

（2）由题意得：只需求出图像与y轴的交点的纵坐标即可。即当x=0时，y=2（x-1）（x-m-3）=2m+6，所以该函数的图像与y轴交点的纵坐标为2m+6，故当2m+6＞0，即m＞-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方。

【点评】二次函数图像与x轴交点个数问题可以转化为一元二次方程的根的个数问题，从而可以用“根的判别式”这一通性通法加以解决，而有些题目也可从“形”的角度（函数的图像）来解决。如：

已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）。

求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点。

由于y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3，

又a=1＞0，函数图像开口向上，当x=m时，y最小值=3。

所以不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点。

三、函数的实际应用

例3某商品的进价是每件40元，原售价每件60元。在进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：

售价（元／件）利润（元）60 6000 61 6090 62 6160 63 6210… …

（1）当售价为每件60元时，当天可售出_______件；

当售价为每件61元时，当天可售出_______件。

（2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时，当天售出该商品的利润为y元。

①用所学过的函数知识直接写出y与x满足的函数表达式：______。

②如何定价才能使当天的销售利润不低于6200元？

【解析】（1）根据“销售量=总利润÷每件利润”可得：当售价为每件60元时，当天可售出300件；当售价为每件61元时，当天可售出290件。

（2）①根据“总利润=每件利润×销售量”可得：

y=（60-40+x）（300-10x）=-10x2+100x+6000=-10（x-5）2+6250。

②题目要求使当天的销售利润不低于6200元，即y≥6200，当y=6200时，

-10（x-5）2+6250=6200。

解得x1=5- 5，x2=5+ 5。

由-10＜0，得该二次函数的图像开口向下。

即当y≥6200时，3≤x≤7（x为正整数）。

故定价为：63，64，65，66，67。

【点评】该题利用了二次函数模型进行解决。函数是解决实际问题的有效模型，利用二次函数解决实际问题往往经历：找到题目中的两个变量；寻找变量之间的等量关系；依据变量之间的等量关系列出函数关系式；利用配方等方法求出顶点进而求出最值；回到实际问题进行检验。

四、函数的几何应用

例4如图1，已知矩形ABCD中，A（3，2），B（3，-4），C（5，-4），点E是直线AB与x轴的交点，抛物线y=ax2+bx-3过点E，且顶点F的横坐标为1，点M是直线CD与x轴的交点。

图1

（1）求a，b的值。

（2）请你探索在矩形ABCD的四条边上，是否存在点P，使得三角形AFP是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

（3）抛物线上是否存在点Q在∠EMC的平分线上？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

【解 析】（1）由 题 意 得 E（3，0），

（2）要使三角形AFP是等腰三角形，只要两条边相等，故分为PA=PF，AF=AP，AF=FP三种情况：

①当PA=PF时（如图2），点P在线段AF的垂直平分线上。

（i）方法一：设P1是线段AF的垂直平分线与AB的交点，

设BP1=x，由FP12=AP12可得x2+22=（6-

得点P1的坐标为

图2

方法二：设H是线段AF的垂直平分线与AF的交点，

（ii）方法一：设P2是线段AF的垂直平分线与CD的交点，

设CP2=y，由FP22=AP22可得y2+42=（6-y）2+22，得y=2，

得点P2的坐标为（5，-2）。

方法二：设K是线段AF的垂直平分线与FC的延长线的交点，

由△KBP1∽ △ABF可得KB=8，KC=6，CP2=2，可得点P2的坐标为（5，-2）。

②当AF=AP时（如图3），点P与点C重合，此时，点P的坐标为（5，-4）。

③当AF=FP时（如图3），

设 CP=m，可得 m2+42=62+22，得 m=2 6，得点P的坐标为（5，2 6-4）。

图3

（3）存在。

由（1）得y=x2-2x-3。

由于点Q在∠EMC的平分线上，即点Q到x轴和直线CD的距离相等。

令-（x2-2x-3）=5-x（x≥5时，不合题意），即x2-3x+2=0。

解得x=1或x=2。

所以点Q的坐标分别为（1，-4），（2，-3）。

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的性质、相似三角形、勾股定理、角平分线的判定等，综合性较强。运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键。

总之，二次函数知识点较多，解题策略错综复杂，我们必须在平时解题中总结方法，真正达到“做一题，通一片”的效果。