两个矩阵和Drazin逆新的推广式

杨晓英

(四川信息职业技术学院 基础教育部, 四川 广元 628017)

1 引言

设Cm×n表示m×n阶复矩阵的集合，A∈Cn×n, 若X∈Cn×n满足下列方程[1]：

Ak+1X=Ak,XAX=X,AX=XA, 则称X为A的Drazin逆, 记作X=AD。这里ind(A)=k, ind(A)表示A的指数,Aπ=I-AAD。矩阵的Drazin逆在奇异微分方程、迭代法、控制论中都有广泛的应用。近年来, 关于矩阵和的Drazin逆的表示，许多学者在不同条件下都做了很多讨论[1-11]。其中，文献[1]给出P2QP=0,P3Q=0,Q2=0和PQP2=0,QP3=0,Q2=0条件下体上两矩阵和的Drazin逆公式。在以上研究基础上，本文分别给出在P2QP+PQ2P=0,P2Q2+PQ3=0,P3Q=0,Q3P=0和Q3P+Q2P2=0,PQ2P+PQP2=0,PQ3=0,QP3=0条件下两矩阵和Drazin逆的表示。这推广了文献[1]中的一些结果。关于分块矩阵Drazin逆的表示一直是许多学者讨论的焦点，应用这些结论可以进一步讨论分块矩阵Drazin逆的表示。

下面给出几个重要的引理。

引理1[2]设A∈Cm×n,B∈Cn×m。则(AB)D=A((BA)D)2B。

引理2[3]设P,Q∈Cn×n, 如果PQ=0, 那么

其中

2 主要结果

文献[1]给出在P2QP=0,P3Q=0,Q2=0和PQP2=0,QP3=0条件下两矩阵和Drazin逆的表示，本文我们应用以上引理分别给出在P2QP+PQ2P=0,P2Q2+PQ3=0,P3Q=0,Q3P=0和Q3P+Q2P2=0,PQ2P+PQP2=0,PQ3=0,QP3=0条件下两矩阵和Drazin逆的表示。这些条件比上面的条件更弱。

定理1设

若P2QP+PQ2P=0,P2Q2+PQ3=0,P3Q=0,Q3P=0。则

这里

J=(PD)2+PQX(PD)2+PQ(PQ)DX,

K=(Q2)D+QP(QP)DY+QPY(Q2)D,

其中，

ind(PQ)=s1, ind(P)=r1，ind(QP)=s2,ind(Q)=r2。

证明由引理1，可知

记

由P2QP+PQ2P=0,P2Q2+PQ3=0,得EF=0。

由条件P3Q=0，得E1E2=0, (E2)2=0。由引理2，通过计算得：

ED=E1D+E2(E1D)2。

又Q3P=0, 得F1F2=0, (F2)2=0。由引理2，得：

FD=F1D+F2(F1D)2。

再由引理3，得

其中

因此

进而

因此，结论显然成立。

定理2设

若Q3P+Q2P2=0,PQ2P+PQP2=0,PQ3=0,QP3=0, 则

这里

其中，H=(QD)2+(QD)2XPQ+X(PQ)DPQ,

L=(PD)2+Y(QP)DQP+(PD)2YQP,

ind(Q)=s1, ind(PQ)=r1，ind(P)=s2,ind(QP)=r2。

证明由引理1，可知

由Q3P+Q2P2=0,PQ2P+PQP2=0,得EF=0。

由条件PQ3=0，得E1E2=0, (E1)2=0。由引理2，得

ED=E2D+(E2D)2E1。

又QP3=0, 得F1F2=0, (F1)2=0。由引理2，得

FD=F2D+(F2D)2F1。

再由引理3，得

其中

因此

进而

这里，H=(QD)2+(QD)2XPQ+X(PQ)DPQ。L=(PD)2+Y(QP)DQP+(PD)2YQP。

因此，结论显然成立。

下面的推论是文献[1]中的重要结果。

推论1[1]设P,Q∈Cn×n，若P2QP=0,P3Q=0,Q2=0，则

其中ind(P2)=n1, ind(QP)=n2。

推论2[1]设P,Q∈Cn×n，若PQP2=0,QP3=0,Q2=0，则

其中ind(P2)=n1, ind(QP)=n2。