单调性与导数

苏州市吴江盛泽中学 吴敏强

我们在学习导数的时候，老师一定告诉过你：

对于函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）＞0，那么f（x）在该区间上单调递增；如果在某区间上f′（x）＜0，那么f（x）在该区间上单调递减.

对于这个结论，你也一定背得滚瓜烂熟了，那么我想问一句，这是为什么呢？

在学习导数之前，对于函数单调性的判断我们手边的方法有：

1.画出函数图象，直观判断；

2.利用函数单调性的定义.

我们先来回顾一下函数单调性的定义：

设函数y=f（x）的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说y=f（x）在区间I上是单调增函数.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说y=f（x）在区间I上是单调减函数.

在之前的文章中我们提到过，这个定义是可以修正改进的，如下：

然后，我们再来看看导数是怎么回事？导数的定义如下：

设函数y=f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），当Δx→0时，比值则称f（x）在x=x0处可导，并称A为f（x）在x=x0处的导数.

对于一个结论，想要认识清楚，原命题研究完后，研究其逆命题、否命题，对辨析概念效果甚佳.

原命题：对于函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）＞0，那么f（x）在该区间上单调递增；

逆命题：对于函数y=f（x），如果在某区间上单调递增，那么f（x）在该区间上f′（x）＞0.

逆命题是真命题还是假命题呢？答案：假命题.

反例：f（x）=x3，在定义域R上单调递增，其导函数f′（x）=3x2，很显然当x∈R，f′（x）≥0恒成立，可见上述逆命题是不正确的.那教科书的描述错了吗？没有，教科书没错，只是f′（x）＞0并不是y=f（x）单调递增的充要条件，而仅仅是充分条件而已.

那好，现在我们对它进行修正，我想你一定会这样做，把等号加上去.

命题1：对于函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）≥0，那么f（x）在该区间上单调递增.

上述命题比之前的原命题更加完备，但还是存在缺陷，下面我用具体函数来说明，如图1：

图1

大家可以很容易通过计算得到上述分段函数分别在区间[0，2），（2，4）和（4，+∞）上是可导的，且在各区间上导函数f′（x）≥0恒成立，而图象中间一段是水平线，所以整个图象并不是单调递增的.这说明什么？

问题还是出在f′（x）=0的那些点上，上述函数f′（x）=0的点是连续的，形成了区间，于是就有了一段不增的函数段，换言之，f′（x）=0不能形成区间！

命题2：对于函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）≥0，且f′（x）=0的点不能形成区间，那么f（x）在该区间上单调递增.这个命题是充要的！

这个等号是很重要的.

最后看一个习题，来体会下等号的重要性.

解答：因为函数在R上单调递增，所以f′（x）=x2+2bx+（b+2）≥0在R上恒成立，且f′（x）=0的点不能形成区间，故4b2-4（b+2）≤0，解得-1≤b≤2.

可见这个等号是需要的.

对于概念的理解我们不能知其然不知其所以然，更不能局限于死记硬背，我们要有打破砂锅问到底的精神！数学，让我们无所畏惧！