老师，我为什么算得这么慢——导数篇

江苏省苏州中学 王思俭

考完试后有几位同学议论：

解答题第19题运算量超大，有的结果超繁琐，单调区间含有根式；

填空题最后两题运算量太大了，如同解答题，题目条件不知道怎么用；

暑假期间我刷了很多高考导数压轴题，各地38套模拟题，但有的题还是不会做；

看来只刷题并不能真正提高运算速度，必须要加强解题回顾；

我在运算方面的经验是：概念定理要清晰、方法策略要合理、运算步骤要简洁、解题过程要严谨、答案结论要规范、解题回顾要常看，简称清晰、合理、简洁、严谨、规范、常看；

……

为此邀请五位同学就“导数及应用问题的运算”进行交流，旨在提高他们的运算质量和速度，提升数学核心素养.

生甲：关于函数f（x）=（x2-2x）ex的判断正确的是（ ）

（A）f（x）既有最大值，也有最小值 （B）f（x）只有最大值，没有最小值

（C）f（x）只有最小值，没有最大值 （D）f（x）既无最大值，也无最小值

因为f′（x）=（x2-2）ex，令f′（x）=0，得列表讨论知，当时，f（x）有极大值当时，f（x）有极小值.故选A.

生乙：根据其图象类似于三次函数图象，应该选D.

教师：你们有没有研究函数f（x）的图象，函数f（x）有几个零点？

生丙：f（x）只有两个零点，当x＜0时，f（x）＞0，且x→-∞时，f（x）→0；当0＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0.而且，当时，f（x）单调递减，当时，f（x）单调递增，因此，当时，f（x）有极小值，也是最小值.所以选C.

教师：很好！分析正确.其图象大致为图1.

生乙：函数（其中a为常数）在开区间（2，3）内存在极小值，则a的取值范围为_______.

图1

生丙：虽然答案正确，但过程不严谨，应该分类讨论，当a≤2时，解出当2＜a＜4或a≥4时，经过讨论不等式无解.

生丁：分离变量法求解，因为a（x-1）=x2-2x，x∈（2，3），因此，令x-1=t∈（1，2），转化为求函数值域，利用单调递增，值域为）.故a的取值范围为

教师：很好！生丁的运算简洁明了，不同的运算策略，解题链长短大不相同，因此，要想使运算速度快，结果又正确，同学们必须要学会从不同角度思考问题，积累经验.

若题目改为：

选择哪种方法求解呢？

生戊：利用二次函数图象分析法求解，接上述过程，函数g（x）=x2-（a+2）x+a在（-1，2）内有两个零点的充要条件为Δ＞0且g（-1）＞0且g（2）＞0且解之得所以a的取值范围为

生丁：利用分离变量法与几何直观法，令x-1=t∈（-2，0）∪（0，1），作出函数图象，当时，直线y=a与函数图象有两个不同交点.

教师：两种解法都是基本方法，但后一种解法的运算量较小，速度较快.

生甲：若函数f（x）=x3+ax2+cx+2在（0，+∞）内有且只有一个零点，且f（x）-2是奇函数，则f（x）在[-2，3]上的最大值与最小值的和为_________.

根据奇函数求出a=0后，求出f（x）=x3+cx+2的导数f′（x）=3x2+c.但怎样使用条件“在（0，+∞）内有且只有一个零点”？因此就没有解下去.

教师：该函数是奇函数向上平移两个单位而得到的，你分析三次函数图象与零点个数关系了吗？

生甲：我讨论当c≥0时，在（0，+∞）上无零点，不合适；当c＜0时，求出f′（x）=0的解，经过列表讨论知，极大值点极小值点x2=在（0，+∞）内，还是没有办法确定c的值.所以最终的答案是含有c的式子.

教师：函数零点和极值点的概念一样吗？

生丙：因为f（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点，因此f（x）有极小值为0，即解之得c=-3.再计算区间端点的值和极值，可得最大值为20，最小值为0，故答案为20.

教师：正确.利用函数的极值再结合函数图象控制零点的个数，这种数形结合思想是高考中常考的思想方法，你们应该学会灵活运用数学思想方法解题，这样才会提高解题能力.

若改为：

求f（x）在[t，t+1]上的最大值与最小值之差g（t）的解析式.

如何解决呢？

生戊：求出极大值与极小值，然后就极值点在区间[t，t+1]外和内进行分类讨论，当极值点在内部时，作差f（t+1）-f（t）与0比较大小.答案为：当t≤-2或t≥1时，g（t）=3t2+3t-2；当时，g（t）=-t3+3t+2；当时，g（t）=-t3-3t+4；当-1＜t＜0时，g（t）=-3t2-3t+2；当时，g（t）=t3-3t+2；当时，g（t）=t3+3t2.

教师：非常好！

生甲：已知函数f（x）=（ax2-2x）ex（其中a为常数）.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若a≠0，记函数f（x）的极大值为M，极小值为m，求证：为定值.

我只做出（1），第（2）题不会，但结果太繁琐了，因为f′（x）=（ax2+2（a-1）x-2）ex，令f′（x）=0，得ax2+2（a-1）x-2=0（*）.因为Δ=4（a2+1）＞0，f′（x）＞0，即ax2+2（a-1）x-2＞0，解之得，或f′（x）＜0，即ax2+2（a-1）x-2＜0，解之得

教师：你确定方程（*）是一元二次方程吗？

生甲：需要分类讨论，a≠0与a=0的情况，若a≠0，就是上述情况，若a=0，此时f′（x）=-（x+1）ex，若f′（x）＞0，则x＜-1，若f′（x）＜0，则x＞-1.

生乙：上述结果是a＞0时的情况，当a＜0时，f′（x）时开口向下的二次函数，相应解集与a＞0的情况相反，即f′（x）＞0解为f′（x）＜0的解为或

教师：在a＜0的情况下，你比较的大小了吗？

生丙：根据二次函数零点与二次不等式的解，f′（x）＞0，解之得，解之得，或

综上所述，当a=0时，f（x）单调增区间为（-∞，-1），单调减区间为（-1，+∞）；当a＞0时，f（x）单调增区间为）和），单调减区间为；当a＜0时，f（x）单调增区间为单调减区间为）和

教师：正确！利用导数求函数单调区间，实质就是解含有参数a的不等式，需要分类讨论，同时要结合二次函数图象与二次不等式解的关系求解，充分运用几何直观想象.

生丁：由（1）知，当a≠0时，方程（*）有两个不同的解.由（1）的讨论知，x1，x2是函数f（x）的两个极值点，因此Mm=f（x1）f（x2）=将x1+x2和x1x2代入得，，所以为定值.

众生：我们是先将x1，x2代入求出f（x1），f（x2），再计算其乘积，运算量特别大，而且繁琐.

教师：正确！本题先判断极大值点和极小值点，要先化简再求值，再利用根与系数关系求解.

生乙：已知函数的极值点构成数列为｛xn｝（n∈N*）.

（1）求数列 ｛xn｝（n∈N*）的通项公式，并证明｛xn｝（n∈N*）为等差数列；

（2）求证：数列｛f（xn）｝（n∈N*）是等比数列；

教师：正确！关于极值点问题和证明等比数列，一定要严格按照定义求解，即回到定义去，这是解决问题最基本的方法.

生丙：不等式等价转化为.构造函数g（x）=于是令g′（x）=0，得x=1，经过列表讨论知，x=1时，g（x）有极大值，也就是最大，所以

生戊：不对，x=1时n无解，因此要比较与对应的函数值大小因为因此，）即，g（x）max=所以，故a的取值范围为

教师：正确！因为x=1实质就是数列｛xn｝中的某一项为1，即无正整数解.

关于导数及应用的运算问题：

首先，要弄清楚题目中所涉及的概念及运算法则，如导数的四则运算法则和常用函数的求导公式，再如“在某一点处的切线”与“过某点的切线”，再如“零点与极值点”等等；

其次，理清要求的结论与题设条件的关系，抓住关键词，如“函数在某区间是单调函数”，再如“求含有参数的函数的单调区间”“不等式在某区间上恒为正数或图象在x轴上方”等；

再次，选择正确合理的运算方法及解题策略，如函数与方程、分类讨论、数形结合、等价转化、构造法等；

最后，解题过程要简洁明了，严谨规范，答案正确.如“极值点”是“数”而不是有序数对，再如取值范围的区间端点能否取到等，都要仔细检查核对.

同时还要加强解题回顾，对于同一个问题，要学会从不同角度去思考、分析，想一想还有没有其他解法，能否推广，改编原题，如“ex”与“lnx”可以互换吗，“乘积”可以改为“相除”吗，等等.只有这样，才能提升你们的解题能力，才能提高你们的解题速度，才能提升你们的核心素养！

1.已知函数f（x）=cosx+ax在[0，π]上单调递增，则实数a的取值范围为_______.

（1）求过原点作曲线f（x）切线的方程；

（2）求函数f（x）在区间[k，k+1]（k为常数）的最大值（用k表示）.

答案：

1.[1，+∞）.2.a的取值范围为

4.（b-a）min=

5.（1）切线方程为y=2x或y=ex.