基于MATLAB数字图像处理的线性代数教学探索

朱丹　于书靖　苏洪波

【摘 要】线性代数教学中，发挥MATLAB数据可视化优势，从数字图像处理的角度阐释矩阵的相关概念及运算，丰富教学案例，开展创新教学实践。

【关键词】线性代数;数字图像处理;实验教学;MATLAB

中图分类号： O151.2-4;G642 文献标识码： A文章编号： 2095-2457（2019）31-0118-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.31.056

【Abstract】In linear algebra teaching，we interpret concepts of matrix and matrix manipulation from a digital image processing perspective with the help of advantage of MATLAB in data visualization. Teaching cases are enriched and invovative practice teaching is explored.

【Key words】Linear algebra;Digital image processing;Experimental teaching;MATLAB

1 利用MATLAB数据可视化，突出线性代数教学的直观性和实用性

线性代数课程教学，在充分利用MATLAB软件强大的数值计算功能的同时，还可充分挖掘其数据可视化功能，使之教学内容深度融合、完美契合。作为线性代数课程的一个主要研究对象——矩阵，其实质就是各种数据的汇总，而与矩阵相关的各种运算，本质上就是对其中数据的再加工再处理。以MATLAB数字图像处理[1][2]为依托，使学生逐步明晰数字图像与矩阵的对应关系，并从数字图像处理的角度阐释矩阵的运算，给抽象的数学理论赋予更直观的形象，同时也丰富了应用背景，为学生提供了更多机会参与创新实践。

2 MATLAB数字图像处理在矩阵概念、矩阵运算教学中的应用案例

案例2.1  从数字图像的角度解读矩阵，赋予矩阵以更直观的形象

（1）0-1矩阵对应二值（黑白）图像

MATLAB中以5阶方阵为例，零矩阵‘zeros（5）、单位阵‘eye（5）以及随机0-1矩阵‘randint（5）所对应图像如图1所示。

（a）零矩阵                  （b）单位阵          （c）随机0-1阵

图1 0-1矩阵

在学生基本掌握了这种数与图的对应关系后，教师进一步引导学生构造“口”、“日”、“田”等汉字所对应的数字矩阵。此外，通过布置“如何利用矩阵构造词语‘中国、‘海军、‘甲午……？”、“如何利用矩阵构造数字组合‘1894、‘7.25……？”等引申的课后上机练习题，拓展学生思维，促进知识的活学活用。

（2）值域为[0，1]的double型矩阵或值域为[0，255]的uint8型矩阵对应灰度图像

仍以5阶方阵为例，随机[0，1]double型矩阵‘rand（5）、随机[0，255]uint8型矩阵‘uint8（rand（5，5，[0，255]）对应图2所示的灰色马赛克图案。

（a）[0，1]double阵                                （b） [0，255]uint8阵

图2 [0，1]double随机阵及[0，255]uint8随机阵

（3）RGB彩色图像是R、G、B矩阵的层叠

利用图2中灰度图像的构造方法，可以分别构造R、G、B三基色随机阵，图像分别对应图3（a）、3（b）、3（c），再将三色矩阵拼合得到RGB矩阵，图像为彩色马赛克图案，如图3（d）所示。

（a）R矩阵    （b）G矩阵    （c）B矩阵   （d）RGB矩阵

图3 R、G、B随机阵及拼合成的RGB矩阵

依循这种层层递进、由简入繁的思路，學生在直观上对矩阵的实用性有了初步的了解，感受到了数学的神奇力量，激发了学习热情。

案例2.2 利用矩阵线性运算实现图像隐藏

（a）隐藏前               （b）背景图               （c）隐藏后

图4 图像隐藏

矩阵的加减、数乘是矩阵的两种基本运算，MATLAB环境下可用于实现数字图像信息的隐藏。

假定涉密图片（图4（a））和背景图片（图4（b））分别存储于矩阵A、B中，利用矩阵的两种线性运算构造矩阵C=A+t·（B-A），可将涉密图片隐藏于背景图片中。这里，t∈[0，1]为隐藏参数，用来控制隐藏深度。图4（c）中设置t=0.5，为半隐半现状态，若设置t=1，可实现图像的完全隐藏，设置t=0，又可实现图像的复原。课堂教学中，通过渐进调节参数t的取值由小变大，就可以将图片隐藏的渐变过程展现在学生面前，增强了教学的生动性、实用性。

案例2.3（a）  利用矩阵乘法实现图像伪装

矩阵运算中，矩阵乘法具有较为特殊的运算规律，是矩阵运算教学的一个难点。矩阵乘法又具有较强的应用性，因此其教学特别要突出以问题为主导，从问题中来，到问题中去。实际教学中，教师设置这样一个问题情境：“一幅舰载机涉密图片如图5（a）所示，使用什么方法可对其实施伪装？”由于前期教学已经做了铺垫，学生凭直觉给出了几个策略：打乱重排、打马赛克、……。教师因势利导，“马赛克该如何打？”……在留给学生足够的思考空间之后，教师引入正题，“我们来看看借助矩阵乘法能否做到吧！”利用涉及随机矩阵的矩阵乘法AR=A'（A是图5（a）对应矩阵，R是与A匹配的随机矩阵，A'是新生成矩阵），图5（a）经处理后得到图5（b）。课堂上，学生通过前后图像对比不难发现，矩阵乘法的运用使得原有图像中的重要信息得到了屏蔽，伪装效果明显。学生从案例讲解中，理解了矩阵乘法的本质就是对矩阵实施变换，运用到数字图像处理中，可以实现图像的置乱。

案例2.3（b）  利用矩阵除法实现伪装图像复原

矩阵方程的求解涉及矩阵的除法运算。教师在引入矩阵除法时，可以从乘与除的相对关系出发，将案例2.3（a）中的问题进一步铺开。“涉密图像在传输过程中，发送方预先实施有效伪装，而接收方就需要根据密钥对收到的伪装图像（图5（c））进行复原。如何复原呢？”根据伪装过程AR=A'，利用矩阵除法A=A'/R可实现其逆过程，生成图像如图5（d）所示，与原始图5（a）对照，实现了图像的完好复原。

（a）伪装前       （b）伪装后 （c）复原前      （d）复原后

图5 图像伪装及复原

3 结束语

以矩阵概念理论为突破口，以MATLAB数字图像处理为媒介，对线性代数课程实验化的教学模式进行了初步探索。教师采用理论传授型实验、综合应用型实验的教学方法，充分挖掘MATLAB图像处理等工具箱的工程实践功能，设计与线性代数课程理论密切相关的应用性实验，以图形等形式直观展示实验结果，一方面，使抽象的數学概念具体化、形象化、可视化，便于学生理解，另一方面，学生更多地参与到实验活动中，逐渐转变学习方式，变被动学习为自主探索，学习效率有效提升。此外，实验内容的设计充分考虑学生的个体差异，区分难易层次，能够使每个人潜能都得到有效激发。

【参考文献】

[1]张德丰，等.MATLAB数字图像处理[M].北京：机械工业出版社，2012.

[2]赵小川，等.MATLAB数字图像处理实战[M].北京：机械工业出版社，2013.