解析几何测试题B 参考答案

一、选择题

1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B

7.D 8.D 9.A 10.D 11.C 12.B

二、填空题

13.14.(0,-b)

15.2 16

三、解答题

17.(1)依题意可知所以所以椭圆的方程为离心率为

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y整理可得(3k2+1)x2+12kx+9=0,则

若以MN为直径的圆过点F(-1,0),则∠MFN=90°,即

综上,k的值为

18.(1)因为抛物线C的方程为y2=4x,所以F的坐标为(1,0)。

设M(m,n),因为圆M与x轴、直线l都相切,又l平行于x轴,所以圆M的半径为|n|,点P(n2,2n),则直线PF的方程为即2n(x-1)-y(n2-1)=0,所以又m,n≠0,所以|2m-n2-1|=n2+1,即n2-m+1=0,所以E的方程为y2=x-1(y≠0)。

(2)设Q(t2+1,t),A(0,y1),B(0,y2),由(1)知,点Q处的切线l1的斜率存在,由对称性不妨设t＞0,因为,所以所以3t,所以

由f′(t)＞0 得由f′(t)＜0得

所以f(t)在区间上单调递减,在区间上单调递增。

19.(1)因为椭圆的离心率所以解得a=2。所以椭圆E的方程为

(2)依题意,圆心为C(t,0)(0＜t＜2)。

所以圆C的半径为

因为圆C与y轴相交于不同的两点A,B,且圆心C到y轴的距离d=t,所以0＜即

所以△ABC的面积

所以△ABC的面积的最大值为

20.(Ⅰ)由题设知则有直线A1P的方程为y=

直线A2Q的方程为

设点M(x,y)是A1P与A2Q的交点,由①×②得

又点P(x1,y1)在双曲线上,因此即

因为P,Q是双曲线上的不同两点,所以它们与点A1,A2均不重合,故点A1和A2均不在轨迹E上。

同理,轨迹E也不经过点(0,-1)。

综上分析,轨迹E的方程为x≠0且

(Ⅱ)分三种情况讨论:

(1)设过点H(0,h)的直线为y=kx+h(h＞1),联立消去y整理得

(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0。

令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0,解得

由于l1⊥l2,则,故

(2)设过点H(0,h)的直线l2的方程为y=kx+h(h＞1),联立消去y整理得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0。

令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得

当l1过点A1和H时,直线l1的斜率为

由于l1⊥l2,则k1k=-1,即

同理,当l2过点A2和H,而l1与轨迹E相切时,也得

(3)过点A1,A2分别引直线l1,l2通过y轴上的点H(0,h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,由得此与时l1,l2的方程分别为与y=-x它们与轨迹E分别仅有一个交点所以,符合条件的h的值为或或

21.(1)依题意,点P到点F(1,0)的距离等于它到直线l1的距离,所以点P的轨迹是以F为焦点,直线l1:x=-1为准线的抛物线。所以曲线C的方程为y2=4x。

(2)设点P(x0,y0),M(-1,m),N(-1,n),直线PM的方程为(x+1),化简得(y0-m)x-(x0+1)y+(y0-m)+m(x0+1)=0。

因为△PMN的内切圆方程为x2+y2=1,所以圆心(0,0)到直线PM的距离为1,即,故(y0-m)2+(x0+1)2=(y0-m)2+2m(y0-m)(x0+1)+m2(x0+1)2。易知x0＞1,上式化简得(x0-1)m2+2y0m-(x0+1)=0。

同理,(x0-1)n2+2y0n-(x0+1)=0。

所以m,n是关于t的方程(x0-1)t2+2y0t-(x0+1)=0 的两根,所以m+n=

因为=4x0,所以所以|MN|

直线PF的斜率则|k|=