例说构造法

■甘肃省酒泉市肃州中学 张登虎

在数学解题的方法中，有一种叫构造法。所谓构造法就是为了解决当前的问题，从问题的结构特点出发，运用类比、联想的思维方式和手段，使思维得到迁移，“无中生有”地创造出另一个模型，利用该模型使原问题得以巧妙解决的一种方法。由于此方法对于培养同学们的类比思维、联想思维、创新思维有独特的功效，并且可使解题巧妙简明，理应引起我们的高度重视。构造法渗透在教材中，散见于各类资料中，我们应旗帜鲜明地“叫响”构造法，不必羞羞答答，遮遮掩掩。下面示范几例，说明方法，以诱导同学们迸发出创新思维的火花。

一、构造函数

例1证明：当

证明：先证sinx＜x。构造函数f(x)=导函数f′(x)=1-成立，故函数

上为增函数，又f(0)=0，所以f(x)＞0成立，即sinx＜x。

再证x＜t a nx。构造函数g(x)=t a nx，导函数＞0成立，故函数g(x)在上为增函数，又g(0)=0，所以g(x)＞0成立，即x＜t a nx。

本题还可以构造单位圆来巧妙获证。

二、构造方程

例2求证

证明：由此式的结构可联想判别式Δ=，由

此题用构造向量的方法也十分简洁，请同学们自己动手试一试。

三、构造数列

例3已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+1，求an。

解析：联想等比数列，试图构造一个新的等比数列{an+λ}，通过研究新数列，进而求出结果。设an+1+λ=2(an+λ)，即an+1=2an+λ，与已知条件比较，得λ=1，所以，所以数列{a+1}是首项为a+n11=2，公比为2的等比数列。所以an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1。

四、构造向量

例4证明不等式a2+b2+c2≥a b+b c+c a，a，b，c∈R。

证明：由左端a2+b2+c2联想向量的求模公式，由右端a b+b c+c a联想向量的数量积。设m=(a，b，c)，n=(b，c，a)，由|m||n|≥m·n可证得。

五、构造四边形

例5在平面直角坐标系中，x轴的正半轴上有3个不同点，y轴的正半轴上有4个不同点，所有这些点连成的直线在第一象限内最多有个交点。

解析：构造四边形，四边形的对角线的交点即为所求的交点。故所求交点个数等于四边形的个数，即

六、构造“格子”，构造“上，右”

例6动点从(0，0)沿水平或竖直方向运动到点(6，8)，要使行驶的路程最小，有多少种不同的走法?

解析：动点只能向上或向右运动才能使路程最小，而且最小的路程为14，把动点运动一个单位看成是1步，则动点走了14步，于是问题可构造为在14个有序的格子中填写6个“右”和8个“上”，就变成了一个组合计数问题，故一共有(种)走法。

许多排列组合问题都需要现场构造，我们总结的“插空法”“捆绑法”“隔板法”，都是构造法的产物，因此从根本上说还是要练就“构造”的本领，做到以不变应万变。

七、构造斜率

例7求函数的值域。

解析：依函数的结构联想斜率公式k=，得知函数表示连接点A(2，0)和P(cosx，-sinx)的直线的斜率，而动点P的轨迹是单位圆，画出图形，可快速求得

八、构造组合数

例8求数列{n(n+1)(n+2)}的前n项和。

解析：联想组合数公式，可先将式子n(n+1)(n+2)改写成组合数，n(n+1)(n+2)，然后反复使用公式就可以求得结果。

Sn=1×2×3+2×3×4+3×4×5+…