双勾函数与基本不等式

■北京八十中雄安校区 王立彬

我们已经学习了基本不等式，知道它的适用范围和条件是“一正、二定、三相等”。但在解决一些实际问题时，我们还需要认识基本不等式与双勾函数之间的关系。

例1设函数

(1)当a=2时，求函数f(x)的最小值；

(2)当0＜a＜1时，求函数f(x)的最小值。

解析：(1)把a=2代入f(x)=x+，得-1，因为x＞0，所以，所以，当且仅当x+1=，即时，f(x)取等号，此时

(2)当0＜a＜1时-1，令t=x+1，得前面我们已经分析了此函数为双勾函数的平移函数，在区间[1，+∞)上单调递增，当t=1时，函数取得最小值，即f(x)min=a。

总结：(1)若利用基本不等式解决最小值问题，需要将函数配凑，并通过还原得到双勾函数的形式。然后利用基本不等式的定积求和的形式求最小值，此时要注明等号成立的条件。(2)在配凑以后，如果用基本不等式1来解决，我们发现等号在时成立，不满足x＞0的条件。利用已经分析的双勾函数图像特点，我们可以清楚地发现问题的原因，应用基本不等式解决函数f(t)=的最值，需要在定义域内，或者说，用基本不等式求得的最小值，是双勾函数在区间(0，+∞)内的极值点。

例2当x＞-1时，求f(x)=的最小值。

解析：整理，因为x＞-1，所以x+1＞0，所以，当且仅当，即x=5-1时等号成立，此时

总结：解决此类函数问题经常要利用拆项、添项、配凑、分离、减少变元等方法，构造函数为的形式来解题，并且等号成立时要在定义域范围内取到。

例3求函数的最小值。

解析，令得≥2)，对函数求导得，当t≥2时，f′(t)≥0恒成立。所以函数f(t)=t+在区间[2，+∞)上单调递增，当t=2时，函数取得最小值，所以f(x)min

总结：通过构造函数后，我们分析题中的条件为t≥2，等号成立的条件t=1不在定义域范围内，所以我们需要另辟蹊径通过函数求导的方法，利用函数的单调性来解决问题。

例4求函数0)的最大值。

解析：整理，因为x＞0，所以，当且仅当x=2时等号成立，所以即

总结：有一部分同学经常会把例4这种题型，和分离变量的问题弄混，本题中的原函数的分子幂次低于分母幂次，所以同时除以分子，此时分子为常数，分母构造为对勾函数的形式。为了方便理解，我们举例f(x)=整理为f(x)=，分子、分母同除以x+1得分母可构造为双勾函数。例5求函数0)的最大值。

解析：因为x＜0，所以-x＞0，所以当且仅当-3x=，即时等号成立，所以3x+，即f(x)，得

总结：当自变量x为负值，不满足“一正”时，可以通过提取负号满足条件，应用基本不等式，结合用导数对函数单调性分析，我们也可以清楚知道，双勾函数在(-∞，0)上有极大值，用基本不等式求得的最值点，就是双勾函数在区间(-∞，0)上的极大值点。

例6已知2x+8y=x y(x＞0，y＞0)，求x+y的最小值。

解析：由x＞0，y＞0，等式2x+8y=x y两边同乘以，所以x+y=8，所以x+y的最小值为8。

总结：首先需要将等式2x+8y=x y变形整理为的形式，等式右侧要求是常数1，再与x+y相乘，当令时，则，所以本题实际上也是对勾函数求最值问题。我们也可以将2x+8y=x y变形为，通过减元来求解问题。