HPM视野下的初中数学教学

杨 娟

（江苏省海门市海南中学，江苏海门 226100）

引 言

HPM 是“History and Pedagogy of Mathematics”的简称，意指数学历史和教育的关系。HPM 的研究领域非常广泛，包括数学史在数学文化中的作用，数学史与历史发生教学、学生的学习障碍的关系，数学史对教师专业成长的影响等。基于HPM 视野，从数学史的视角设计、研发初中数学教学，有利于提升初中数学教学的整体绩效。

一、HPM的理论基础

基于HPM 视角设计初中数学教学，不但有心理学基础，而且有教育学、历史学、发生学的基础。探析初中数学教学的HPM 基础，主要基于以下两个原理。

（一）历史相似性原理

匈牙利著名数学家、数学教育家波利亚深刻地谈道：“只有理解了人类如何获得某些事实或概念知识，我们才能对人类孩子应该如何获得这种知识作出更好判断”。也正如荷兰弗赖登塔尔所说：“历史正是通过避免走盲目的道路，通过缩短大量弯曲小道，通过历史自己重新组织的道路系统来修正自己。[1]”这些论断得到了包括后来克莱因、庞加莱、卡托斯等世界级数学大师的鼎力支持。他们都一致认同，学生的认知过程与人类对数学知识的探索历程有着严格的相似性，数学史可以让数学教学获得启迪。

（二）建构主义理论

建构主义理论是学习的基本理论，该理论认为，学生的数学学习过程不是被动地吸纳、接受知识的过程，而是主动建构甚至创造知识的过程。在这个过程中，教师要重视学生个体与个体、个体与环境之间的积极互动。将历史发生原理和建构主义理论结合起来进行数学教学设计，为HPM 理论在数学教学中的运用提供有益支撑。作为教师，在初中数学教学中，应当把握相关的数学概念、原理、公式、定理等知识演变、发展的过程，让学生厘清数学知识的来龙去脉，使其深刻把握相关的数学概念、定理公式等的知识演变、发展历程。同时把握学生的具体学情，将数学史的启迪和学生的能动建构结合起来。

二、基于HPM理论的初中数学教学设计

中国科学院的李文林教授说：“数学史除了为历史、为数学而历史之外，还应该为教育而历史，也就是要充分发挥数学史的教育功能。”华东师范大学张奠宙教授说：“数学史应当成为数学教育的有机组成部分”。法国数学家庞加莱说：“数学课程内容应按照数学史内容的发展顺序展现给读者”。以数学史为触媒、为载体，不仅能让学生认识到数学知识的“庐山面目”，而且能发展学生的数学思想，敞亮学生的数学视野，丰富学生的数学文化，提升学生的数学品格与精神[2]。

（一）链接式教学，让“史”荡漾眼前

所谓“链接式教学”，就是在数学知识的教学中，添加一些对该知识进行历史探索、发展的链接。在初中数学教学中，许多看似规定性的知识，如果追问历史本源，都有着“规定的意义”。比如，在教学《角和角的度量》时，教师可以让学生了解，为什么一个周角等于360°这个数值，了解角度制源于巴比伦人的天文历法。古代巴比伦人迷信天象，因此他们将数学与天文学联通起来进行思考，他们用数学方法研究天文，将圆周分为360 度，每度60 分，每分60 秒，这就是今天度、分、秒的来历。同时，又因为古代巴比伦人在研究中发现，360 这个数有22 个真因子，包括了除7 以外从2 到10 的所有数字，因而让很多特殊角的度数都是整数。这样的数学史链接，有助于学生感受、体验数学知识，数学规定的合理性、必然性、科学性。

链接式教学有助于丰富学生的数学史知识，主要包括数学知识的产生背景、趣闻逸事等。在初中数学教学中，可以运用链接数学史的知识点很多，如负数的概念、勾股定理、函数的知识，等等。通过链接式教学，可以丰富学生的数学感知，让“史”荡漾于学生的眼前。

（二）再现式教学，让“史”始终在场

如果说“链接式教学”主要是对数学史知识的简单介绍，那么，“再现式教学”则是选取数学知识展示过程中的关键节点、片段。因此，再现式教学实质上是教学中的一种“切片展示”，选取的是能体现数学思想方法、能解决数学重难点知识的一些历史。再现式教学能促进学生的数学理解。在数学与历史之间架设一座桥梁，用以发展学生的数学思维，催生学生的数学想象，培育学生的数学核心素养。

比如，“无理数”这个概念，顾名思义，许多学生认为无理数就是没有道理的数，事实并非如此。在教学中，笔者借助课件再现了希帕斯发现无理数的历史，让学生认识到了无理数是“不可通约量”，它既不是整数，也不是分数。古希腊毕达哥拉斯学派相信“万物皆数”，这里的“数”是指两个量的比。因此，根据拉丁文，有理数又被翻译成“比数”，而“无理数”又被翻译成“非比数”。在这里，“理”就兼具了“比率”“合理”的意思。有了数学历史的再现，学生就能深刻地理解数学概念了。当然，再现式教学并不是数学历史的简单复制，而是一种能反映数学发现条件、意义和认识过程的片段展示。通过数学史的再现，学生能感受到数学知识发生的动人历程，更能感受到数学家为数学真理而奋斗甚至献身的崇高精神。

（三）融入式教学，让“史”游弋其中

在HPM 视野下，将数学历史融入数学教学的最高境界，就是在数学知识的学习中渗透数学历史，让学生获得数学历史的某种感悟。教师不提任何数学历史的知识，但学生却在真实地经历着对历史相似性的数学探究。为此，教师可以创设情境，引领学生重蹈人类探究的步伐。

比如，“负数”对初一新生而言是一个全新的概念。如何引入负数，让学生体验负数产生的必要性呢？笔者在教学中首先创设了这样的情境：4 个苹果平均分给4 个孩子，每个孩子分得几个苹果？3 个苹果平均分给4 个孩子，每个孩子分得多少苹果？让学生体验分数的诞生，为其学习负数奠定基础。其次，笔者变换情境，用这样的问题激发学生的数学思考：小张今天挣了100 元钱，各项支出总和为80 元，小张今天的净收入是多少元？小张今天挣了100 元钱，各项支出为230 元，小张今天的净收入是多少元？从而使学生产生认知冲突，让学生感受到原来的数已经不够用了。这时，笔者启发学生按照分数的数系扩大，猜想一种新的数，从而激发学生对负数学习的心理需求。教师不露痕迹地融入了数学史，让学生体验到负数的诞生历程以及负数的意义：引入负数后，任意两个数都可以相加或者相减。在初中数学教学中采用“融入式”教学，更能凸显学生的创造意义。

结 语

基于HPM 的教学视野，链接数学历史，再现数学历史，重构数学历史，能让初中数学教学焕发出生命的活力。在这个过程中，学生自然能触摸到数学知识丰赡的思想、文化和精神意蕴，形成丰硕、曼妙的学研旅程。如此，数学史方能照亮学生的数学学习现实，提升学生的数学核心素养。