从数学概念教学到数学模式的形成——谈《函数奇偶性》的教学

江苏

郑宝生 潘 鑫

(作者单位：江苏省无锡市立人高级中学)

李邦河院士曾经说过，数学根本上是玩概念的.因为数学概念是具有共性特征事物的抽象，也是对所研究对象的一种分类，它是人类理性思维的成果，也是人类智慧的结晶.让学生理解和掌握数学概念，就要让学生了解数学概念的起源、形成和发展，在这个过程中寻找方法，在方法中提炼模式.正如张景中院士在谈到数学教育时提出了三条原理：“在学生头脑里找概念，从概念里产生方法，方法要形成模式.”这三条原理在我们的数学课堂教学中也同样适用，它所反映的是概念要直观、亲切，方法要迅速、简明，模式要通用、有力.

一、在学生头脑中找概念

函数是高中数学中最重要的内容之一，而函数的奇偶性也是函数的一个重要性质，对于函数奇偶性的教学设计也经常见诸各种文章之中，怎样的教学设计才能凸显概念中的“任意性”，让学生更好地体悟和理解“任意”的内涵？笔者进行了如下尝试.

问题1：对称是我们生活中最常见的现象，请说出一个轴对称图形和一个中心对称图形；我们学过的函数图象中哪些图象是轴对称图形，哪些图象是中心对称图形？

问题2：从图象上看函数f(x)=x2的图象关于y轴对称，仅靠观察是不可靠的，你能举例说明吗？

【意图】让学生自己去发现对称点的函数值相等，如f(0)=f(0)，f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)等.

问题3：你能写出上述所有等量关系吗？

【意图】举几个例子学生可能会感到轻松，但是若要举出所有的例子学生会感到很惊愕！生命有限，例子无限，从而产生认知冲突，激发学生去思考，找到解决问题的办法.用字母替代数字，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，学生从中体会到x的“任意性”，在悄无声息中进行了一次数学抽象，它所反映的是从量变到质变的一个哲学思考.

形成结论：函数y=f(x)的图象关于y轴对称，满足的关系式为定义域内任意的x都有f(-x)=f(x).此时学生对于“任意”的理解仅浮于表面，认为“任意”的存在不是必要的，所以教师还需要强化“任意”在定义中不可或缺的地位.

问题4：反之，对于函数y=f(x)，定义域内若存在x=1，且满足f(-1)=f(1)，能否说明函数y=f(x)的图象关于y轴对称？

【意图】学生可以举例进行反驳，让学生从反面理解偶函数中“任意性”不可或缺的地位.

问题5：定义域内存在x=m，满足f(-m)=f(m)，能否说明函数y=f(x)的图象关于y轴对称？存在x=n，满足f(-n)=f(n)，能否说明函数y=f(x)的图象关于y轴对称？依此类推，一直这样下去，怎样才能保证函数y=f(x)的图象关于y轴对称？

【意图】从函数定义域内存在x一直延伸到无数个x，最后达到定义域内任意的一个x都满足f(-x)=f(x)，缺少定义域内任意的一个x，就不能保证函数y=f(x)的图象关于y轴对称.

形成结论：若定义域内任意的x都满足f(-x)=f(x)，则函数y=f(x)的图象关于y轴对称.此时“任意性”不再是多余词汇，而是一个保证定义域内所有的x一个都不能少的关键性词语，然后形成偶函数定义，并深切地体悟到“任意”的分量.只有从学生头脑中构建出来的概念，学生才能更好地理解概念，准确地运用概念.

二、在概念里找方法

问题是数学的心脏，数学概念的学习也是为了更好地解决问题，正如波利亚所告诫我们的，“回到定义中去”.定义中体现的是数学的本质，包含着解决问题的方式方法，这样的方式方法最简单、最有效.

1.证明函数的奇偶性，经历概念的模仿过程

证明函数的奇偶性，让学生运用定义解决问题，归纳操作流程，在回顾反思的过程中，促使学生理解定义的内涵，把握定义的外延.

例1.判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)=2x；(2)f(x)=x2-1；(3)f(x)=x3+5x；(4)f(x)=x4+2x2.

思考：(1)证明函数奇偶性的操作步骤是什么？

【意图】通过证明函数的奇偶性让学生归纳和概括操作步骤：①定义域；②任意性；③比较f(-x)与f(x).其次通过学生的举例，一方面可以反馈学生对奇、偶函数的认知；另一方面也是为了提炼更一般的方法：对于定义域为R的多项式函数，都是奇次项的是奇函数，都是偶次项或常数项的是偶函数.

对于高一的新生来说，这样的代数证明还是有点难度.他们容易忽略函数的定义域，特别是定义域内x的“任意性”，即使学生求出f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)也仅仅是停留在符号层面，不理解其中的含义.其主要原因是大部分学生都处于模仿状态，他们还感受不到定义域和任意性是不可缺少的条件，他们的书写也仅仅是照搬而已.所以需要强化定义域和任意性的教学，特别是对于奇、偶函数的符号表达，需要学生能用自己的语言叙述，如-x的函数值与x的函数值相等或互为相反数，使符号含有学生熟悉的具体内容，便于理解和掌握.

2.证明函数不具有奇偶性，经历概念的感悟过程

要理解一个事物，需要从不同角度观察思考，这样才能更好地触及事物的全貌，体会到事物的本质.从反面理解函数奇偶性的定义，能更好地理解定义域和x的任意性.

例2.判断下列函数的奇偶性

思考：(1)你能从中发现奇偶函数有怎样的特点？给出解释.

(2)怎样才能证明一个函数不具有奇偶性，为什么？

【意图】前面两个函数给出了定义域，后面两个函数要求学生先求出定义域，再判断奇偶性.让学生通过对比发现，奇、偶函数的定义域关于原点对称，理由是定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，只要在定义域内找到一个x不符合要求，就不具有奇偶性.同样要证明一个函数不具有奇偶性，只要在定义域内举一个反例即可，再结合图象给出具体而形象的解释.

上述的两个问题，一个是正面说明，另一个是反面揭示，体现一个本质：对于定义域内任意的x值或对应的函数值，只要有一个x值不满足函数的奇偶性定义，则这个函数就不具有奇偶性.一方面可以让学生准确地掌握函数奇偶性的定义，发现奇、偶函数的定义域关于原点对称；另一方面让学生体会到“定义域内任意的x”在函数奇偶性定义中不可缺少的作用，并提供证明函数不具有奇偶性的一种方法.

3.已知函数的奇偶性求字母系数，经历方法的辨析过程

已知函数的奇偶性，回到定义中去，就是定义域内任意的x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，如果推演下去，对于定义域内某个x=x0必然有f(-x0)=f(x0)或f(-x0)=-f(x0)，在解决问题中这两种方法有怎样的区别和联系？

例3.已知函数f(x)=(m-1)x2+2x-m2+m是奇函数，求m的值.

方法2：定义域内任意的x都有f(-x)=-f(x)，取特殊值x=0，也有f(-0)=-f(0)，则f(0)=0，所以-m2+m=0，则m=0或m=1.

思考：(1)上述两种解法中哪种解法存在问题？给出理由.

(2)比较两种解法的优劣.

【意图】由于所求结果不同，学生容易发现方法2存在问题.方法2中当m=0时，f(x)=-x2+2x，显然不是奇函数，所以m=1.让学生找出理由，给学生一个自由发挥、深入思考的机会.事实上，对于定义域内任意的x，都有等式f(-x)=-f(x)，其含义是：每一个x都有一个等式可求得m值，无限个等式求出的m值的公共元素为m=1，所以方法2计算量更小、运算更简便，求得的m值不会丢根，可能产生增根，只要检验即可.

上述问题用定义来求解，无疑是最可靠的，而用特殊值求解，必然让人产生疑虑，所以需要从其真实性上进行推敲，能给学生一个求真的机会、思辨的舞台，更好地培养学生们的理性精神.然而，现实是许多学生并不懂得为什么，只是简单记住这种解法而已，正所谓只知其然而不知其所以然.

三、在方法中提炼模式

从方法的角度，有奇、偶函数的定义域关于原点对称；对于奇函数f(0)=0等，其本质还是奇、偶函数的定义，具体内容是：定义域内任意的x，-x所对应的函数值相等为偶函数，相反为奇函数.表现在图象上，图象关于y轴对称或图象关于原点对称.具体内容与具体图象的融合，就会在学生头脑中产生具体的形象，这些具体的形象会逐渐地嵌入到学生的观念之中.

1.模式的形成

任何解决问题的模式在学生的头脑中形成，都要有孕育、发展和逐渐清晰的过程.作为函数奇偶性定义的运用或推广，下列问题值得思考.

问题：(1)已知函数y=f(x)，对于定义域内任意的x都有f(1-x)=f(1+x)，则函数y=f(x)的图象有怎样的性质？

(2)已知函数y=f(x)，对于定义域内任意的x都有f(1-x)+f(1+x)=4，则函数y=f(x)的图象有怎样的性质？

思考：(1)上述等式是否唯一？如果唯一，请说明理由；如果不唯一，请写出其他等式.

(2)请给出更一般的结论.

2.模式的运用