定角定弦“隐形圆”破解中考压轴面积最值

杨格瑞

摘 要：在三角形中，如果一条边确定，这条边所对的角的度数也确定，这样的三角形有无数个，此时组成角的顶点有无数个，这些点的运动轨迹是圆上一段弧，因为同弧所对的圆周角相等这个定理，那三角形的这条边就是定边（圆中称之为弦），定边所对的角的度数确定，这个角就是定角，这就是“隐形圆”中重要的定角定弦模型。定角定弦模型主要解决高最值，周长最值和面积最值问题。

关键词：定角定弦;隐形圆;最值;数学建模

定角定弦问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是中考考查的重点。所以近年来，陕西以至全国各地的中考题或者名校的模考题中经常会出现“隐形圆”中“定角定弦”求最值的问题。如陕西省中考真题2016年和2019年，陜西省中考副题2016年和2017年压轴题。此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强，大多数学生不容易想到，加上部分题目的计算量大，就很容易造成学生的丢分。很多学生面对定角定弦求最值问题时往往无从下手，其实是他们没有掌握解决这一问题的方法和策略，也就是数学模型，基于此，在2018届和2019届初三复习课中，笔者对“隐形圆”中“定角定弦”模型进行潜心研究，旨在探索出解决这类问题的有效措施，并且应用于课堂当中，使得学生在模型中掌握知识和技能，提高解决问题的能力，在中考中得到了很好的应用，学生反映良好。

一、模型建立

圆周角定理推论：同弧所对的圆周角相等。但在一个三角形中，如果知道一条边和这条边所对的角，那么利用圆周角定理推论得出点C的运动轨迹是在双弧上。所以就可以得出“隐形圆”存在的条件：定角定弦，产生“隐形圆”。（如图1）

二、“定角定弦”模型知识储备

1.已知线段AB，求作点P，使得∠APB=90°，请作出点P的运动轨迹。分析：直角所对的边是直径。依据：定点加定长（如图2）

2.已知线段AB，求作点P，使得∠APB=60°，请作出点P的运动轨迹。分析：做一个等边三角形，然后做等边三角形的外接圆，上下两个，优弧上所有点和AB组成的角∠APB=60°，此时为双弧。依据：定边对定角（如图3）

3.举一反三：会做定角为90°的“隐形圆”，那思考一下45°的“隐形圆”怎么做？135°的“隐形圆”？120°的“隐形圆”呢（如图4）？

三、模型应用

以2019年陕西中考真题压轴题第三问为例：

25.（本题满分12分）问题提出  1.如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形.

问题探究  2.如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10.若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离。

问题解决  3.如图3，有一座塔A，按规划，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形景区BCDE.根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°.那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的□BCDE的最大面积;若不可以，请说明理由.（塔A的占地面积忽略不计）

分析：1.如图6，分别找BC、AB、AC中点，由判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，得平行四边形ABCD1，平行四边形ABCD2，平行四边形ABCD3或作平行线方法，或做全等得方法均可得到三个平行四边形。

2.如图7，∠BPC=90°，BC=10，定角定弦隐形圆，90°的圆O交AD分别于点P1，P2，此时S△BPCmax在Rt△OP1E中，OP1=r=5，OE=4，∴P1E=3，AP1=2，AP2=8

3.如图8，点A为平行四边形对称中心，BA=50，∴BD=2BA=100（定值），∠CBE=120°，由平行四边形邻角互补知，∠BCD=60°，定角定弦隐形圆，以BD为边，作圆周角为60°的隐形圆圆O，则优弧为点C的运动轨迹，由（1）作平行四边形BCDE，2S△BCD=S△平行四边形BCDEmax，当点M为优弧中点时，或OA⊥DB交优弧于点M时，此时S△平行四边形BCDEmax=2，2S△BCM=2××100×50=5000m2

四、模型总结

定角定弦问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线段关于某一动点的张角为定值。由张角的变化，去寻找这三点所构成的隐形圆。找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解。“定角定弦隐形圆数学模型”在初三二轮复习时作为“隐形圆”非常重要的模型，他的价值在于积累联想原型，启迪解题方向，为隐形圆综合性问题找到更快更准确的解决方法促进学生数学思维的发展和数学素养的提升。