联合订货区间值EOQ模型及变权Shapley值成本分摊方法

叶银芳，李登峰，余高锋

(福州大学经济与管理学院，福建 福州 350108)

1 引言

为了解决如何使得平均费用最小及如何确定订货策略的问题，Harris[1]提出经济订购批量(Economic Order Quantity，简称为EOQ)模型，该模型研究的是不允许缺货、需求率(单位时间的需求量)为常数的单个企业的订货策略及最小平均费用。EOQ模型自提出后受到了研究者的广泛关注[2]，经典EOQ模型假设需求是连续且确定的，而Maddah 和Noueihed[3]研究了需求随机的EOQ模型。罗兵等[4]研究了特价商品的EOQ模型。杨善林等[5]研究了允许缺货、补货时间随机和存货影响销售等假设条件下的变质品EOQ模型。Salehi等[6]研究需求为常数，损坏率随机和允许缺货并且缺货部分回补的EOQ模型。Shekarian等[7]归纳了基本的模糊EOQ模型、缺货回补的模糊EOQ模型和模糊EOQ模型的拓展的研究现状。

现有关于EOQ模型的文献很多是关于单个企业的订货策略的研究，近来，越来越多的研究者开始关注联合订货的存储策略，联合订货是指两家及以上具有相同产品需求的销售商企业组成联盟，向同一供应商订货。联合订货可降低企业的采购成本，因为联盟成员可共同承担固定订购费(如交通运输费、人工费等)，将联盟成员订购的所有商品集中储存在同一仓库，有时还可以降低存储费。对于销售商企业来说，联合订货的成本分摊是他们最关心的问题，公平、合理的成本分摊方案有助于提高各企业参与联合订货的积极性，因此对联合订货的成本分摊进行深入研究是非常有必要的，合作博弈理论为此提供了解决思路和方法。

在研究需求为实数的多企业联合订货的EOQ库存模型时，Meca等[8]提出库存成本合作博弈，利用比例分配规则分摊库存成本，建立SOC (share the ordering costs)准则对固定订购成本进行分摊，在此基础上，Olgun等[9]假设订购成本和储存成本用区间表示，提出灰色SOC准则分摊联合成本。Subiza等[10]提出一类包含均分值和比例分配规则的折中解用于解决成本分摊问题。Fiestras-Janeiro等[11]是关于合作博弈理论在库存系统中应用的综述。Lai Minghui等[12]研究了基于时间策略和基于订货量策略的合作博弈库存成本分摊问题，提出了便于计算的比例成本分摊准则，并分析其人口单调分配机制和稳定性。Chen Xin和Zhang Jiawei[13]研究经济批量博弈，提出一种基于对偶线性规划的求解方法，得出一个属于核心的分配的最优对偶解。Fiestras-Janeiro等[14]研究的允许缺货EOQ模型不考虑储存成本，并且库容有限，建立了库存成本合作博弈并提出了成本分摊R准则。张云丰等[15]研究改良品联合采购问题，获得联合采购优于独立采购的必要条件，并将联合采购的成本分摊问题构造成多人合作博弈问题，提出最小核心法的成本分摊思路。Maddah 等[16]则将经典的EOQ模型拓展到多种可替代产品的联合订货情形中，其中缺货的产品可由现货的产品部分替代。上述文献是利用合作博弈理论求解成本分摊，而Güler等[17]则利用非合作博弈方法研究需求速度和库存持有成本均为企业私有信息的联合订货的机制设计问题。另外，李群霞等[18]对允许提前订货和允许缺货的单一生产商和多客户供应链管理模型进行研究。

目前关于联合订货库存成本分摊的研究大多数集中在需求是实数的假设下进行的，然而，在很多实际情形中，精确的需求是很难获得的。因此用实数表示需求是不够合理的，而模糊数的隶属函数以及随机变量的概率分布函数往往不容易确定，但是，通过以往的经验数据可以预测需求的上界和下界，也就是说需求可以用区间来表示。因此，本文研究需求为区间的允许缺货的销售商企业联合订货EOQ模型。首先，研究销售商企业组成联盟进行联合订货的订货策略，即订货周期和区间值订货量，并求出区间值平均成本；其次，研究一类具有类联盟单调性的区间值合作博弈的区间值变权Shapley值的计算方法；最后，将区间值变权Shapley值用于分摊联合订货成本，并利用算例进行比较分析。

2 区间及区间值合作博弈

2.1 区间及其运算法则

2.2 区间值合作博弈

3 允许缺货的联合订货区间值模型及成本分摊方法

3.1 允许缺货的联合订货区间值EOQ模型

若存在n个销售商企业，分别编号为1,2,…,n，则销售商企业的集合可表示为N={1,2,…,n}，他们结成联盟S⊆N向同一个供应商企业订购同种商品，并将订购的商品集中储存。假设允许缺货，即各销售商企业的库存变为零后，没有马上订货，而是选择等待一段时间再订货，这样可以少支付几次固定订购费和少支付一些存储费，但是需要支付缺货费。因此需要考虑的费用包括订货费、存储费和缺货费，其中订货费包括固定订购费和商品成本费，固定订购费主要是交通运输费和人工费，只与订货次数有关，与订货数量无关，商品成本费与商品的批发价格和订货数量有关。存储费包括商品的资金占用成本和使用仓库的费用，由存储量和单位存储费决定。缺货费包括失去当下销售机会造成的现时损失和失去顾客信任造成的潜在损失，由缺货量和单位缺货费(缺货惩罚系数)决定[22]。对销售商企业来说，若缺货损失很少，则发生缺货现象对企业可能是有利的。因此研究允许缺货(缺货完全回补)的需求为区间的销售商企业联合订货EOQ模型，即允许库存水平为负，每次的补货首先弥补上一次的缺货，剩下的进入库存。模型的几点假设如下：

(1)备货时间为零；

(2)每次固定订购费为常数a，单位商品批发价格为K；

(6)企业i∈N的单位缺货费为常数si，即每单位商品缺货单位时间所造成的损失。

(1)

(2)

则tS时间内联盟S的平均总费用为：

即

(3)

则由式(3)有

(4)

(1)gi(0)=0，gi(1)=1；(2)对任意的x,y∈[0,1]，若x>y，则gi(x)≥gi(y)。

利用式(3)，可将式(4)具体表示如下：

和

令

解得

(5)

(6)

容易验证，函数

的Hessian矩阵是正定矩阵，所以

相应地，可得联盟S中各销售商企业i的订货量为

(7)

(8)

若si(i∈N)无穷大时(即不允许缺货)，有

则

3.2 区间值库存成本分摊合作博弈的区间值变权Shapley值

本文提出基于区间值变权Shapley值的联合订货成本分摊方法，下面先给出区间值变权Shapley值的定义。

3.2.1 区间值变权Shapley值的定义

Shapley值[25]是合作博弈的一种非常重要的单值解，它是根据局中人对联盟的边际贡献来对联盟创造的利益进行分配或对联盟产生的成本进行分摊。求解经典合作博弈的Shapley值时，边际贡献的系数是由局中人的排列确定的，因此经典Shapley值可看作是常权综合的结果，经典Shapley值没有考虑局中人的个体差异。受经典合作博弈Shapley值的启发，结合变权思想[26]，同时考虑局中人所在联盟的相对重要性和局中人本身的相对重要性，先提出变权Shapley值，然后研究区间值合作博弈的区间值变权Shapley值。

定义1对于任意的合作博弈υ∈Gn及局中人i∈N，υ的变权(Variable-weighted) Shapley值记为

其中

(9)

υR(S)-υL(S)≥υR(Si)-υL(Si) (i=1,2,…,n;i∈S⊆N)

(10)

则局中人i(i∈N)的区间值变权Shapley值的表达式为：

(11)

证明：详见附录。

特别地，当

时，式(11)即为文献[20]中定义的区间值Shapley值。

3.2.2 权重确定方法

3.2.2.1 联盟权重的确定方法

为了区别不同联盟的相对重要性，考虑非空联盟S的权重wS，利用变权思想[27-28]可确定wS为：

(12)

(13)

其中，αS>0为参数，dS=(1-λS)dSL+λSdSR，

3.2.2.2 局中人权重的确定方法

(14)

(15)

(16)

另外，为了确保区间值变权Shapley值满足有效性，对式(16)进行如下处理

即

(i∈N)

(17)

4 算例分析

4.1 案例计算

根据g1(x)=x、g2(x)=x2和g3(x)=x3，可得各企业的态度因子如下：

则各联盟S⊆N的态度因子为：

根据上述已有数据及计算结果，利用式(5)、(7)和(8)可得不同联盟的存储策略及区间值平均成本如表1所示。

表1 不同联盟的存储策略及区间值平均成本

结合式(12)-(17)，可得企业i(i∈N)的区间值变权Shapley值为：

(18)

4.2 结果分析比较

4.2.1结果分析

即当所有局中人形成最大联盟{1,2,3}时，每个企业分摊的成本区间比单独订货时支付的成本区间小，这样的结果是符合实际中联合订货的初衷的。

4.2.2 算例比较

(19)

[6251.6,7166.5]<4×[1618.8,1851.3]。

也就是说，如果局中人每个月的需求量成倍增加，利用区间值变权Shapley值分摊的成本区间并不会成倍增加。这是因为，单位需求量增加，区间值变权Shapley值中相应的合成权重变小，从而局中人分摊的成本就变小。因此，区间值变权Shapley值用作联合订货成本的分摊方案可以起到激励作用：鼓励多订货，随着订货量增多，单位商品平均成本变小。

5 结语

允许缺货的EOQ模型是库存理论中应用很广的一个重要模型。结合实际问题中，若多个销售商企业组成订货联盟向同一个供应商订购同种商品比各自单独订货可以节省部分费用，同时考虑到，各销售商企业事先很难精确的预测到商品的需求量，而通过以往的经验数据可以推断出需求的范围。因此，为了使模型更贴近实际，研究需求为区间的允许缺货的销售商企业联合订货EOQ模型，确定其订货周期、区间值订货量及区间值平均成本。建立相应的区间值库存成本分摊合作博弈，并求解一类特殊的区间值库存成本分摊合作博弈的区间值变权Shapley值。区间值变权Shapley值的边际贡献权重由联盟和局中人的相对重要性共同决定。利用区间值变权Shapley值得到的成本分摊方案满足有效性，能将最大联盟产生的成本全部分摊完毕。对同一局中人来说，订货量增多，分摊的单位商品平均成本变小。另外，当区间值需求退化为实数，并且假设缺货惩罚成本系数无穷大时，文中建立的区间值EOQ模型退化为Meca[8]中的不允许缺货的联合订货EOQ模型。

附录：

定理1的证明：

υ(α)(S)=(1-α)υL(S)+αυR(S)(S⊆N)

(A1)

约定υ(α)(∅)=0，参数α∈[0,1]是任意实数。

(A2)

任意的α∈[0,1]和α′∈[0,1]，不妨假定α≤α′。根据式(A2)，可得

结合式(10)可知，

由此可知，变权Shapley值

是参数α∈[0,1]的单调递增函数。从而

那么，区间值变权Shapley值

可表示为：