多受灾点应急物资动态多阶段分配模型研究

王妍妍，孙佰清

(哈尔滨工业大学管理学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

1 引言

近年来，突发灾害频繁发生，造成了巨大的人员伤亡和经济损失。根据相关调查数据，在1998年至2017年间，全球共记录了7255起重大灾害事件，所造成的直接经济损失超过2.9万亿美元。其中，仅在2017年，共发生自然灾害335起，超过9560万人受到影响，死亡人数为9697人，总计经济损失为3350亿美元[1]。就国家和地区而言，1998年至2017年，我国面临的经济损失仅次于美国，全球排名第二位，共计造成经济损失4922亿美元[2]。上述统计数据表明了突发灾害的破坏性影响，同时也对灾害应急管理提出了新的挑战。

灾害应急管理的根本目的在于最大程度地降低人员伤亡和社会经济损失。而在救援过程中，物资救援是满足灾区灾民生存需求与恢复发展的关键。现实突发灾害通常瞬时产生大量的物资需求，而应急初期配送中心的救援物资有限，需要从集散点进行调配，并经过多个阶段才能使各受灾点的需求得到全部满足。同时，相关研究表明，救灾物流占据救援成本的80%以上[3]，因物资紧缺或延迟造成的损失约占灾害总损失的15%～20%[4]。因此，如何科学构建考虑集散点、配送中心和受灾点三级配送网络的应急物资动态多阶段分配模型，最大程度地降低各受灾点由于物资短缺而造成的延迟损失以及物资分配总成本，兼顾物资分配的效率与公平，成为灾害应急物资分配领域亟待解决的现实问题。

目前，已有的应急物资分配模型研究各有侧重。刘春林等[5-7]分别以应急开始时间最早、应急时间最短、出救点数目最少等为优化目标，分析应急物资的分配和调运方案。Oh和Haghani[8]，杨继君等[9]，Balcik和Beamon[10]以及Blecken等[11]以总成本最小为目标构建应急物资分配与调度模型，包括运输成本和购买成本等。Berkoune等[12]和王海军等[13]建立了以最小总配送时间为目标的应急物资分配网络流模型。Nolz等[14]在物资分配中考虑了路网的不确定性。上述模型多以体现分配效率为主，较少体现物资分配的公平性。

在应急救援的响应阶段，多数文献对灾害发生初期首批应急物资分配进行了研究，但目标侧重有所不同。例如，Fiedrich等[15]以死亡人数最少为目标构建应急资源分配模型，并考虑了灾区地理位置、伤亡人数和可利用物资等影响因素。郑斌等[16]以最小化物资配送时间和最大化物资分配公平性为目标。刘长石等[17]以最小化应急物资总配送成本和配送时间为目标。王旭坪等[18]通过受灾者对应急物资数量和时间的不满意度量化攀比函数，以攀比函数最小化为目标。陈刚和付江月[19]以总物流成本最小和受灾点的总加权嫉妒值最小为目标构建灾后救援初期首批应急物资分配模型，但其仅研究了单品种的应急物资分配问题。

在多阶段应急物资分配方面，Tzeng等[20]提出了一个多阶段应急物资配送模型，包括最小化总成本和总配送时间、最大化灾民满意度。冯春等[21]提出了多周期多品种的应急物资配送模型，但其研究的是单个配送中心与多个受灾点之间的物资配送问题。Wang Yanyan和Sun Baiqing[22]提出了应急物资多阶段分配模型，但是研究中运用物资的绝对短缺量化公平，并且仅考虑了救援点和受灾点二级物流网络。

在由集散点—配送中心—受灾点组成的三级应急物资配送网络中，Yan Shangyao和Shih[23]以物资分配和道路修复时间最小化为目标构建了灾害应急救援物资分配模型，研究中仅考虑了物资分配效率目标。孙昌玖等[24]构建了考虑横向转运的应急物资协同调度模型，但是其研究的是单种类物资和单阶段分配问题。

通过对上述文献的研究发现，现有多数研究在应急物资分配过程中仅考虑配送中心—受灾点的二级物流网络，缺少考虑集散点—配送中心—受灾点三级配送网络的应急物资多阶段分配模型的研究；同时，多数文献研究了灾后救援初期首批应急物资分配，忽略了对于应急救援物资多阶段全过程分配的研究。灾后各受灾点首批物资需求的满足对于应急物资的分配公平性固然重要，但在现实救援过程中，应急初期配送中心的救援物资有限，需要从各集散点进行调配，并且需要经过多个阶段才能完全满足各受灾点的需求。可见，研究多阶段的物资分配更符合应急救援物资分配公平性的实际需求。因此，本文引入指数效用函数，运用灾民物资需求的比例短缺量化公平，以最小化物资短缺的延迟损失与物资分配的总成本为目标构建基于集散点—配送中心—受灾点三级配送网络的应急物资多阶段分配模型，旨在实现应急物资分配的多阶段全局最优。

2 研究问题描述与基本假设

2.1 研究问题描述

本文研究的问题为：突发灾害发生后，灾区附近配送中心的应急救援物资有限，需要尽快从各集散点向配送中心调运，并再从各配送中心分配至各受灾点。在此背景下，为满足多受灾点的多阶段应急物资需求，基于集散点、配送中心和受灾点的三级应急物资配送网络，通过构建兼顾效率(分配总成本最小化)与公平(物资短缺的延迟损失最小化)的多阶段物资分配模型，考虑不同阶段不同物资需求与供给的关系及其动态变化特性(从集散中心调运至配送中心的物资数量不超过集散中心在该时间段内的可用物资数量；当前阶段的实际物资分配数量等于该阶段的真实需求与前一阶段的物资短缺之和；当前阶段的实际物资供给数量等于该阶段的可供给数量与前一阶段的未分配遗留数量之和)，在满足一定的约束条件(如配送中心的物资流量守恒、最大程度满足需求、运力限制、道路受损状况等)情况下实现对所有受灾点的物资分配目标。所研究的考虑集散点、配送中心和受灾点三级配送网络的应急物资动态多阶段分配问题，如图1所示。

图1 基于三级配送网络的应急物资多阶段分配问题

2.2 研究假设

结合应急物资分配的实际情景，做如下假设：

(1)应急物资集散点和配送中心有足够空间储存物资，并且每个救援阶段各受灾点的物资需求量及各集散点与配送中心的物资供给量已知。

(2)集散点与配送中心、配送中心与受灾点之间的道路互相连通，且路况信息(通行时间、行驶费用、道路状况系数)可知，但物资分配的通行时间和速度受道路状况系数影响。

(3)各类应急物资(如帐篷、棉被、饮用水等)可以混装同一车辆进行分配，但不同种类应急物资之间不存在替代效用。

(4)以一天(24h)为一个阶段分配物资。

3 基于多受灾点的动态多阶段应急物资分配模型构建

3.1 符号说明

模型构建中所采用的数学符号说明如下：

(1)集合

I：物资集散中心集合，i∈I；

J：物资配送中心集合，j∈J；

M：物资需求点集合，m∈M；

N：应急救援物资种类的集合，n∈N。

K：应急物资分配的规划阶段集合，以天数为单位表示，k∈K。

(2)参数

dij：从集散中心i∈I到配送中心j∈J的最短距离。该段救灾物资运输发生在灾区外部，不存在道路破坏的情况；

(1)

(3)变量

3.2 物资短缺的延迟损失函数

灾民由于物资短缺(或需求未满足)所带来的延迟损失，通常随着物资短缺量的增加而递增，即灾民损失与物资短缺之间的关系为凸函数关系[25]。本文引入指数效用函数量化由于物资短缺而产生的延迟损失，即：

(2)

在Wang和Sun[22]的研究中，运用绝对短缺测度公平。但是研究发现，当各受灾点的物资需求数量差异较大时，运用比例短缺量化公平，更符合实际灾害物资多阶段分配过程中对于分配公平的需要，在后文的算例分析部分会予以具体证明。因此，本文对现有研究进行了拓展，运用灾民物资需求的比例短缺测度公平。在k∈K阶段受灾点m∈M对于物资n∈N的比例短缺可以表示为：

(3)

3.3 模型建立

(1)目标函数：

(4)

(5)

(2)约束条件：

m∈M,n∈N,k∈K

(6)

j∈J,n∈N,k∈K

(7)

∀i∈I,n∈N,k∈K

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

目标函数(4)表示最小化所有阶段所有受灾点物资短缺的延迟损失；(5)表示最小化所有阶段物资分配的总成本，包括运输和购买成本。

约束条件(6)表示平衡每个需求点的短缺，即不允许在需求出现之前预先分配救援物资；约束条件(7)为配送中心的物资流量守恒约束，它确保给定的阶段内总供给在某一阶段超过需求的部分可转入未来阶段予以分配；约束条件(8)为集散中心的物资流量守恒约束，确保从集散中心到配送中心的物资分配量不超过集散中心在该时间段内的可用物资数量；约束条件(9)和(10)表示既限制了运力，并要求支付相应的固定运输成本；约束条件(11)和(12)表示二进制变量必须等于0或1；约束条件(13)，(14)和(15)表示决策变量的非负性。

4 模型求解及数值算例分析

4.1 模型求解

本文的模型求解主要分为两个步骤：首先，进行目标转化，将多目标函数转化为单目标规划问题；其次，采用线性近似(Linear Approximation)方法对所构建的复杂非线性目标函数(4)进行线性化处理，以提高模型的求解速度，满足灾害应急条件下物资分配的快速及时性要求。

(16)

(17)

(18)

(2)线性化处理。线性近似(线性逼近)，即运用较为简单的线性函数表示复杂的非线性函数。假设一个函数上存在点(b,f(b))，当θ接近b时，可用函数在b点的切线作为函数的近似线。函数L(θ)≈f(b)+f′(b)(θ-b)即称为函数f在b点的线性近似或切线近似[26]。

(19)

此时需在原约束条件基础上，添加如下约束：

(20)

4.2 数值算例分析

4.2.1 分析动态多阶段模型优于单阶段模型

以折叠床分配为例，通过比较一个两阶段模型(k=2)和两个单阶段模型的物资分配结果及相应的目标值，验证多阶段分配模型的有效性。

假设研究区域中有3个受灾点，但仅有1个应急配送中心。3个受灾点对于折叠床的总需求为18000，每个受灾点的需求均为6000；初始的折叠床供给数量为12000，在第二阶段从集散点可筹集的数量为6000。为简化算例，此处忽略从集散点到配送中心的成本。从配送中心到受灾点的固定成本和单位可变成本如表1所示。

表1 配送中心到受灾点的固定与单位可变成本(万元)

两阶段模型和两个单阶段模型的物资分配结果、短缺及目标函数值(α=-0.001)如表2，表3，表4和表5所示。

表2 两阶段模型每阶段的物资分配结果

表3 两阶段模型每阶段的物资短缺数量

表4 两个单阶段模型的物资分配结果

表5 两个单阶段模型的物资短缺数量

由表2和表4可知，在总体上两阶段模型的目标值(3829167)优于两个单阶段模型的目标值(4197429)，约为10%。在本例中，虽然第一个单阶段模型的目标值(1610429)优于两阶段模型的第一阶段的目标值(2554167)，原因在于向受灾点3分配物资的成本较高，第一个单阶段模型为避免产生该成本，仅向受灾点1和2分配物资。然而，这只是暂时性的节省分配成本，第二个单阶段模型为弥补受灾点3的物资短缺，支付了更为高昂的成本，使其目标值(2587000)约是两阶段模型的第二阶段目标值(1275000)的2倍，进而导致总体目标值偏高。这表明多阶段模型能更好地最小化物资短缺损失与分配总成本。

从表3和表5可知，两阶段模型能够体现物资分配的公平性。两阶段模型中，各受灾点在第一阶段都可获得4000张折叠床，并存在2000单位短缺,其短缺在第二个阶段可得到弥补，使其在任何阶段都不会面临严重的损失。而两个单阶段模型中，第一个单阶段模型使受灾点1和2的短缺为零，但受灾点3并没有获得任何物资，短缺损失严重。

可见，两阶段分配模型优于单阶段分配模型，能够兼顾物资分配的效率与公平。在本例中，第一单阶段模型为避免高成本而导致受灾点3面临极大的物资短缺，而第二个单阶段模型为弥补短缺又支付了更为高昂的成本，在总体上使各受灾点面临更大的物资延迟损失与总成本支出。然而，两阶段模型在第一阶段和第二阶段对物资的分配都在最大程度地降低受灾点的短缺损失和总成本。这表明了单阶段模型在物资分配方面的“短视”，同时验证了多阶段模型的有效性。

4.2.2 分析模型解决现实大规模灾害应急物资分配问题的可行性和有效性

(1)研究案例设计

以2008年汶川地震为背景，相关参数设置采取实际数据与部分仿真数据相结合的方式。选取汶川地震的部分重灾点作为应急物资需求点，包括汶川县(WC)、北川县(BC)、什邡市(SW)、青川县(QC)和都江堰市(DJY)，各受灾点的基本情况如表6。选取德阳(DY)和成都(CD)两地作为应急物资配送中心，选取西安(XA)和武汉(WH)作为物资集散点。应急物资选取帐篷(N1)、毛毯(N2)和饮用水(N3)，以一天(24h)为一个阶段，研究灾害应急救援前5天的物资分配问题。配送中心德阳和成都对于帐篷、毛毯和饮用水的初始可用数量分别为：500，2000，4000；1000，3000，6000。帐篷、毛毯和饮用水的单位购买成本分别为2000元，40元，18元。设在常规路况情况下，公路运输平均时速为100公里/小时，从集散点到配送中心的单位应急物资单位里程平均运输成本为1元；灾害情况下，从配送中心到受灾点的单位物资单位里程平均运输成本为2元。根据各受灾点的受灾人数估计每阶段物资需求量和供给量，如表7和表8。各集散点至各配送中心的最短距离、固定运输成本见表9和表10。各配送中心至各受灾点的通行时间、道路受损情况、固定运输成本如表11、表12和表13所示。

表6 各受灾点的基本情况

数据来源：联合国地域开发中心(UNCRD)防灾规划兵库事务所关于2008年中国四川大地震调查报告书[27]以及总参谋部报告，截至2008年9月25日12时[28]。

表7 每阶段各受灾点每种物资的需求情况

注：表中数据格式为(N1,N2,N3)，下同。帐篷N1的单位为顶，一顶帐篷的规格为5m*6m，可容纳10-12人；毛毯N2的单位为条；饮用水N3的单位为箱，一箱饮用水24瓶，每瓶550ml。

表8 每阶段各集散点的物资供给情况

表9 集散点至配送中心的最短距离(km)

表10 集散点至配送中心的固定运输成本(万元)

表11 配送中心至受灾点的通行时间(min)

表12 配送中心至受灾点的道路状况系数

表13 配送中心至受灾点的固定运输成本(万元)

(2)算例结果分析

采用比例短缺量化公平，模型达到最优时每阶段各受灾点的物资分配结果及相应的物资短缺量，如表14和表15所示。并对比分析了运用比例短缺和绝对短缺测度公平情况下，各受灾点在每阶段对于每种物资的短缺比率，如图2、图3和图4所示(由于采用比例短缺量化公平时，各受灾点在每个阶段对于每种物资的短缺比率相等，所以图2—图4中将比例短缺量化公平情况下5个受灾点的物资短缺比率进行统一表示)。

表14 基于比例短缺每阶段各受灾点每种物资的分配情况

表15 基于比例短缺每阶段各受灾点每种所需物资的短缺数量

图2 每阶段各受灾点对N1的短缺率

图3 每阶段各受灾点对N2的短缺率

图4 每阶段各受灾点对N3的短缺率

从表14和表15可以看出，当各受灾点存在物资需求时，模型在每个阶段都会向各受灾点分配物资，上一阶段的物资短缺会继续转化为新的需求在下一阶段得到供给，直至其需求全部得到满足。在本例中，每个受灾点对于三种物资N1、N2和N3的需求最终都得到了全部满足，在第五阶段的物资短缺量均为零。

从各个阶段来看，首先，当物资供给有限且小于需求时，每个受灾点在每个阶段可以获得一定数量的所需应急物资，特别是灾害发生后第一阶段首批应急物资的分配，能够最大程度地满足各受灾点对于不同物资的需求，使其不会由于物资短缺而造成严重的损失。例如，在第一阶段对于N1的分配，各受灾点的物资满足率均达到了91%以上。当物资持续供不应求时，仍可以保证物资分配的公平，如对于N2的分配，在第一阶段，各受灾点对于N2的总需求为10000，而该阶段的总供给仅为8000，由此使各受灾点产生了相应的物资短缺；在第二阶段，总供给(9000)仍然小于总需求(12000)，此时各受灾点的物资短缺量有所增长，但分配仍很均衡，满足率仍可以达到75%，并没有使各受灾点出现严重的物资短缺，并且此时的短缺随着供给的不断增加也在逐渐减少，在第三、四阶段的物资满足率分别达到了86%和93%，其需求在第五阶段得到了全部满足，此时短缺为零，需求满足率为100%。

其次，当所需物资供大于求时，所有受灾点的所有需求都会得到全部满足。例如，N3在第一和第二阶段都是供应量充足的状态，因此，所有受灾点在这两个阶段并未出现物资短缺。

从图2至图4可知，当各受灾点每阶段所需物资数量范围较大时，运用比例短缺量化公平能够更好地避免各受灾点产生较大的物资短缺损失，更有利于应急物资的多阶段公平分配。

首先，采用比例短缺量化公平时，各受灾点在每个阶段对于每种物资的短缺比率相等，这样可以使各受灾点无论在物资多紧缺时，都会在每阶段分配到相同比率的所需物资，进而避免较大的物资短缺损失。在本例中，三种应急物资N1、N2和N3的最高短缺比率分别为20%(第二和第三阶段)、25%(第二阶段)、14.29%(第三阶段)，但物资的最低满足率仍可以达到75%以上。

其次，运用绝对短缺测度公平，各受灾点的物资短缺比率高低不等，容易造成部分受灾点损失严重的现象。例如，以第三阶段N1和N3的分配为例，运用比例短缺量化公平时，各受灾点的物资短缺比率分别为20%和14.29%，而采用绝对短缺时，虽然SW的N1和N3短缺比率分别仅为12%和8.57%，小于比例短缺量化公平时的短缺比率值，但DJY的N1和N3短缺比率均高达60%，表明该市仅可以得到很少部分的应急物资，将面临严重的物资短缺损失。

可见，本文所提出的模型可以有效地识别物资分配，能够最大程度地避免某个受灾点在某一阶段(尤其是灾害初期第一阶段首批物资分配、以及中期持续供不应求情况下)出现严重的物资短缺以及面临由于物资短缺而产生的巨大损失，尽可能地提高灾民的物资需求满足程度。同时，基于比例短缺量化物资分配的公平，能够避免由于各受灾点的需求量差异而对公平分配产生的影响，进而降低某一受灾点在某一阶段产生较大的物资短缺损失的可能性，确保多受灾点之间多阶段物资分配的公平性，更符合灾害救援实际。

5 结语

本文从实际应急物资分配的动态多阶段特点出发，提出了面向多集散点、多配送中心、多受灾点、多阶段的应急物资分配优化模型，通过物资分配的总成本最小化体现效率，并通过物资短缺的延迟损失最小化体现公平。

本论文的创新性在于基于传统的单阶段物资分配模型存在的不足，考虑实际多阶段物资分配过程中不同阶段应急物资需求与供给的关系及其动态变化特性，提出了兼顾效率与公平的考虑集散点、配送中心和受灾点三级配送网络的应急物资动态多阶段分配模型，算例结果验证了在总体上多阶段模型的目标值优于单阶段模型，能够兼顾物资分配的效率与公平，更好地降低由于物资短缺而产生的延迟损失以及物资分配的总成本；基于比例短缺量化物资分配的公平，能够避免各受灾点产生较大的物资短缺损失，确保多受灾点之间多阶段物资分配的公平性；模型考虑了灾害情况下的道路受损状况对物资分配的影响，使研究更符合救援实际。

应急物资分配过程涉及多方面因素，如灾情等级、物资紧急程度、响应时间限制等，因此，不同约束条件下的物资分配问题有待深入研究。