一道数学课本题的“再回首”

摘 要：教材中的例题、习题具有一定的典型性和代表性，蕴含着课程的基本理念与教学目的，在教学过程中起着画龙点睛的作用，教师对典型的例题、习题应不失时机的“再回首”，充分挖掘其引领、示范的教学功能.

关键词：课本;习题;再回首

作者简介：李玉荣（1963-），男，江苏句容人，本科，中学高级教师，研究方向：初中数学教学研究.

荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔认为，“数学教育是一个活动过程，学生应当通过再创造来学習数学，……这样获得的知识与能力才能更好地加以理解，而且能保持长久的记忆”.因此，教师应使学生在学习过程的不同层次中，始终处于积极、创造的状态.解题教学是数学教学的一个重要环节，也是提高学生数学能力的主要途径.笔者以为，在解题教学尤其是中考复习课的解题教学中，教师若能选择恰当的例题进行“再回首”“再创造”，让学生“小题大做”“借题发挥”，往往能激活学生的数学思维，促成典型习题的可持续引领、示范作用.

题目 （人教版数学八年级上册第79页练习3）求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

1 自然解法占主导

复习课上，笔者选用此题作为例题，学生不屑一顾，几乎清一色给出如下证法：

已知：如图1，在△ABC中，点D为AB的中点，CD=12AB.

求证：∠ACB=90°[1].

证法1 因为CD=12AB=AD=BD，

所以∠DCB=∠B，∠ACD=∠A.

因为∠DCB+∠B+∠ACD+∠A=180°，

所以∠ACD+∠DCB=90°.即∠ACB=90°.

评注 此解法符合学生的认知规律，自然、简洁.在解题教学中，自然解法占主导地位无可厚非，但如果教师的教学就此打住，即出现了教学中的“滑过”现象，那么此题的功效无疑大减！本题的条件之一是“CD为中线”，怎样体验它的作用？值得引领学生进一步探究解法，积累数学活动经验.

2 题阔招多任尔行

一题多解是培养学生发散性思维的一个重要途径，教学中关注例题教学的可持续性，让知识成串、互通有无，让复习课充满新鲜感、富有挑战性，也是培养学生创造性思维能力的有效方法.此题看似简单，其实也蕴涵着丰富多彩的内涵，笔者引领学生作了如下探究.

证法2 如图2，延长CD至点E使得DE=CD，连接AE，BE.

因为AD=BD，所以四边形ACBE为平行四边形.

又因为CE=2CD=AB，

所以四边形ACBE为矩形.

所以∠ACB=90°.

评注 此解法也很简洁，倍长中线构造平行四边形，是解决中线问题的常用方法.

证法3 如图3，分别取AC，BC的中点E，F，连接EF.

所以EF=12AB，DF//AC，DE//BC.

所以四边形DECF为平行四边形.

又因为CD=12AB=EF，所以四边形DECF为矩形.

所以∠ACB=90°.

证法4 如图4，取BC的中点M，连接DM，则DM//AC.

所以∠ACB=∠DMB.

因为CD=12AB=BD，

所以DM⊥BC，即∠DMB=90°.

所以∠ACB=90°.

评注 上述两种解法也很简洁，见中点，取中点构造三角形的中位线是破解中点问题的常用方法.

证法5 如图5，延长BC至点E，使得CE=BC，则CD=12AE.

因为CD=12AB，所以AB=AE.

所以AC⊥BE.

所以∠ACB=90°.

评注 此解法也很简洁，见中点，倍长线段构造三角形的中位线是破解中点问题的另一方法.

证法6 因为CD=12AB=BD=AD，

所以点D是△ABC的外心.

因为AB是△ABC外接圆的直径，所以∠ACB=90°.

评注 妙用外接圆，结论显而易见.

证法7 如图6，过点C作CH⊥AB于点H，设AD =BD= CD=m，DH=x，

则AH=m+x，BH=m-x.

则CH2=m2-x2.

所以BC2=（m-x）2+m2-x2，AC2=（m+x）2+m2-x2.

可得BC2+AC2=（m-x）2+m2-x2+（m+x）2+m2-x2=4m2=AB2.

所以∠ACB=90°.

评注 此解法看似繁琐，其实仅仅用了勾股定理及其逆定理，巧妙计算得证.

证法8 如图7，分别过点A，B作AH⊥CD ，BE⊥CD ，垂足分别为点D，E.

设AD =BD= CD=m，DE=x，则CE=m-x.

易证△BED≌△AHD.

所以BE=AH，DH=DE=x，

CH=m+x.

因为CE·CH=（m-x）（m+x）=m2-x2=BE2=BE·AH，所以CEAH=BECH.

故Rt△BCE∽Rt△CAH，可得∠ACH=∠CBE.

因为∠CBE+∠BCE=90°，所以∠ACH+∠BCE=90°，即∠ACB=90°.

评注 此解法略显繁琐，但作两条垂线也是解决中点问题常见的辅助线.

证法9 如图8，作Rt△EFG，使得∠EGF=90°，EF=AB，EG=AC，HG为斜边上的中线.

则HG=12EF=HE.

因为CD=12AB=AD，

所以AD=HE，CD=HG.

所以△ADC≌△EHG.

可得∠A=∠E，进而△ABC≌△EFG.

所以∠ACB=∠EGF=90°.

评注 此解法为构造法，灵感来源于勾股定理逆定理的证明方法，颇有滋味.

解决问题的策略、方法和途径可以是多样性的，《数学课程标准（2011年版）》强调了这种“多样性”，并且希望学生由此发展创新意识.学生独立思考，自己发现和提出问题，是对创新意识的一种培养.因此，教师要合理利用教材内容，因势利导，适时鼓励学生思考和交流，形成自己对问题的理解，对比认识方法不同的优劣，同时体验“解决问题方法的多样性”，这需要教师课前做足“功课”，精心“预设”，课堂上“放手”探究，才能让“不同的人在数学上得到不同的发展”的理念真正落到实处.无需遨游题海，关注并研究典型例题、习题教学的可持续性就是一个极好的途径.

（收稿日期：2019-04-23）