马纪英,王 潮,姜文鹏
(石家庄邮电职业技术学院,河北 石家庄 050021)
卷积是分析数学中一种重要的运算,是一种积分变换的数学方法,它是通过两个函数生成第三个函数的一种数学算子.卷积与Fourier变换,以及Fourier变换的特殊形式Laplace变换,都有着密切的关系,尤其是卷积定理,把函数卷积的积分变换和函数积分变换的乘积联系起来,大大简化了卷积的计算量,使得Fourier分析中许多问题的处理得到简化.同样,卷积自身又有着诸如数乘、微分、积分、不等式等各种运算性质以及运算规律,其中卷积的微分性质尤其处于显要位置.
若已知函数f1(t),f2(t),则积分
称为f1(t)与f2(t)的卷积,记为f1(t)*f2(t),即
卷积运算满足:交换律、结合律、对加法的分配律;还具有数乘、微分、积分、不等式等基本性质.其中微分性质如下:
同Fourier变换的卷积一样,Laplace变换的卷积运算也满足:交换律、结合律、对加法的分配律;也具有数乘、微分、积分、不等式等基本性质.其中微分性质如下:
由卷积运算的交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t),可得
设φ(x),ψ(x)在区间[a,b]上连续,
证明:根据引理,令f(τ,t)=f1(τ)f2(t-τ),则有
同样,由卷积运算的交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t),可得
解令[y(t)]=Y(s).由
取其逆变换可得y(t)=?-1[Y(s)]=sint+y(0)cost,
当t=0时,有y(0)=0.因此,方程的解为y(t)=sint.
卷积和卷积定理是Fourier变换和Laplace变换的一类非常重要的性质,在求解积分变换的逆变换,微分、积分方程,偏微分方程的过程中发挥着巨大的作用,虽然卷积并不是很容易计算,但是卷积定理和卷积的运算性质提供了卷积计算的简便方法,化卷积运算为乘积运算,这就使得卷积在线性系统分析中称为特别有用的方法.此外,卷积运算在统计学、概率论、声学、电子工程与信号处理、物理学等工程和数学上都有很多应用.