基于MATLAB的船体三维曲面外板展开与精度控制

肖 雄，江 帆，吴伟国，陈 炯

（九江职业技术学院 船舶工程学院，江西九江 332005）

关键字：MATLAB；曲面表达；曲面展开；小曲面三角形；鞍形板

0 引言

中国制造2025提出造船自动化、信息化与智能化，船体外板成形加工的自动化和数字化作为船体分段智能制造中一项关键技术[1]，越来越受到人们的重视，国内外各研究机构在水火弯板技术和可重构模具冲压成形这两个主要方向都投入了大量的人力和财力进行研究，目前以武汉理工大学研制的三维数控弯板机为代表的板材自动化成形冲压技术已见初步成效[2]。然而，对于船体外板的原始加工号料信息主要依赖于主流船舶设计软件（如TRIBON、SPD等）[3]提供的放样图、活络样板调节表等数据，主要是通过模拟手工放样得到的，精度不高，需设置一定的余量。

实践证明，直接运用船舶生产设计软件提供的外板放样加工信息，在生产过程中会产生一定的误差，需在板材号料中加放余量，而目前较为先进的水火弯板技术和数字化冲压成形技术对板材的成形精度和质量都有严格的要求[4]，先加放后切割的留余量生产方式势必会影响外板加工成形技术。为此，设计一款专门的外板曲面表达与展开工具很有必要，能够通过数学方法尽可能减小曲面的展开误差，并对展开误差进行一定的分析与处理，以便在号料加工过程中对误差量进行补偿，为后续船体外板高精度自动化成形提供可靠的数据基础[5]。

1 曲面表达与展开理论方法

1.1 曲面表达方法

本文三维船体外板曲面的表达是用双三次样条曲面插值来实现的，设在uw平面的矩形区域R：上给定一个矩形网格分割形成的双三次样条函数插值曲面如图1所示[6]。

图1 插值双三次样条曲面

图2 网格曲面划分成小三角形曲

1.2 曲面展开方法

船体外板展开是将那些在投影图上不能表示出真实形状的空间曲面实行求出，并摊开在平面上的过程。其目的是为了绘制号料草图或样板，以便在平直的钢板上号料。然而，船体外板大都是复杂双曲度板，理论上[7]均属于不可展曲面，不可能精确的求得其展开图形。小曲面三角形法是先将船体外板曲面利用双三次样条函数插值形成网格曲面，然后连接每个小网格曲面的对角线，可以获得一系列的小曲面三角形（图2）。若船体外板型值点间距较大，则在型值点之间插值若干个控制点，以减小曲面三角形三边弧长的拱高，使其更加接近平面三角形，从而减小开展误差。

图3 长条曲面和基准线示意图

将网格曲面利用横向样条曲线划分成一列列的长条形曲面，取纵向插值样条曲线中最中间的一条样条曲线，这条样条曲线通过每个横向样条曲线的中间点P1,P2, ...,Pn（图3），在这些点中取最靠近曲面中心的一点为展开中心。

在每个长条形曲面中，以基线和长条形边线交点为坐标原点，建立子直角坐标系（u，v）。首先，将曲面中间的长条形曲面展开，以其基线两端点之间的直线距离计算出来，以直线代替曲线平铺在水平轴上，然后通过样条曲线上插值点的三维坐标计算出长条上下其他三角形三边长，并以平铺后的基线为基准，依次沿u轴正负两个方向叠加展开小三角形。在中间长条曲面展开后，依次在其左右对称展开其他长条曲面（图4）[8]。

图4 小曲面三角形法展开示意图

图5 曲线示意图

1.3 小曲面三角形展开理论误差分析

1）小曲面三角形逼近理论

将船体曲面划分成一系列的小曲面三角形，从理论的角度讲，无论怎么划分，这些小曲面三角形依然是不可展曲面。但是从逼近原理出发，当划分的小曲面三角形达到一定数量时，这些小曲面与由三角形三顶点构成的平面之间的拱高将小到可以忽略的程度，这时可以把小曲面三角形视为平面三角形或简单曲度的曲面三角形而进行精确展开[9]。可以认为，当它们的展开结果与该曲面的真实展开面的形状和尺寸的误差，小至某个限度（制造工程中不需要进行补偿或修整）时，则这个展开结果是精确的。曲线示意图见图5。

设曲线方程y=f(x)

弧长公式为

其中：[xa,xb]为积分区间，y'为曲线的一阶导数。

式中：y′,y′′,y′′′分别为曲线的一、二、三阶导数。

由上式可知，弧长用梯形法积分有一阶精度，对于光顺的样条曲线来说，用二次曲线来拟合局部，误差可忽略不计。上式可化简为

由于对于不可展的小曲率板y'与1在同一量级，上式简化为

因此可以得出：

由式(6)可知，用弦线代替弧线求曲线长度，每段误差与曲线二阶导平方成正比，与区间长度三次方成正比。由此可知，误差是随区间长度的减小以三次速度收敛于 0，所以，用该方法展开曲度变化较为平缓的船体外板是可行的。

2）展开图缝隙与重叠

利用小曲面三角形方法[10]对每个长条形曲面展开后，最后要将所有的长条平面拼接起来，形成有缝隙与重叠的展开图（图 6）。三维船体外板曲面的展开相当于船体外板成形加工的逆过程，由于曲面的不可展性，不可能无撕裂和皱折的平摊成平面。故而，在船体外板的成形加工过程中，平直钢板的部分区域也将出现拉伸或压缩。所以展开图上的缝隙实际可以看作是外板成形加工过程中外板的塑性形变量，即拉伸和压缩形变的大小。这些拉伸与压缩量，一方面能为板材的成形加工提供很重要的指导与参考，另一方面，将拉伸与压缩量合拢或摊平，可以获得更高精度的外板展开图。

图6 展开后长条形平面的拼接

2 三维曲面表达与展开系统流程图

2.1 软件操作流程图

软件操作流程图如图7所示。

2.2 软件主要模块

该软件系统是以MATLAB作为编程语言，结合AutoCAD图形工具开发的可执行EXE程序，主要有4个功能模块[11]：

1）数据导入模块

本系统设置了2种数据格式，一是由主流生产设计软件TRIBON生成的后缀为lst描述外板加工信息的船体外板活络样板调节表数据；另外一种是船体外板型值点三维坐标的EXCEL格式数据，以便进行一般数据格式的外板展开计算。

2）曲面表达与展开模块

该模块对导入的数据进行曲面拟合表达与展开计算，将拟合曲面和展开图形可视化，并结合插值控制点数、是否去掉展开缝隙等要求对展示图形进行实时更新，借助MATLAB工具可以对图形进行放大、旋转、平移等动态观察，以便直观展示曲面拟合效果和展开图形状。

图7 软件系统操作流程图

3）数据输出模块

数据输出菜单包括输出曲面插值点的坐标，三维曲面CAD脚本文件，展开图CAD的脚本文件。脚本文件可以直接导入AutoCAD图形界面，自动形成三维曲面或展开图，增强了计算结果的可移植性，便于分析与保存。

4）数据分析模块

该模块将计算主要结果，如外板展开最大长度与宽度、展开图上每列缝隙的最大宽度、各部分缝隙的面积等信息，形成TXT文本，对外板加工过程进行指导。

图8 船体三维曲面外板表达与展开系统

3 系统误差评定

3.1 曲面拟合表达误差

为验证程序在表达船体外板时的可靠性[12]，取一块已知曲面方程的鞍形板,将插值计算出来的数值点与理论值相比较并进行误差分析。鞍形曲面的方程为：并设置网格即步长为60 mm。

为了进行数学定量分析，首先计算出函数解析曲面插值之后各个网格交叉点的理论解析解，记为z1，利用双三次样条函数插值构建的马鞍形曲面的各个插值点的拟合值，记为z2，采用总体平均误差、均方差、总体方差、均方差率等来计算双三次样条函数构建解析曲面时的误差[11]。

图9 网格曲面加密前后图形显示

3）总体方差 = |解析曲面方差-拟合曲面方差|

5）准确率 = 1-均方差率

各计算值如表1所示。

表1 拟合曲面相对于原始曲面误差

从表中数据可以看出，拟合曲面相对于原始曲面的准确度超过99.9%，所以该软件构建表达三维船体外板曲面的能力是很强的。

3.2 展开误差评定

用原始曲面面积和展开平面面积之差与原始曲面面积之比来表示展开误差。计算公式为：其中，S空间曲面和S展开平面分别代表空间曲面与其展开平面的面积。由微分几何知识可知：对于曲面函数为z=f(x,y)的曲面表面积为：

图10 鞍形和帆形外板的曲面和展开图

取x,y方向步长分别为20（即x,y方向插值两个点），曲面图和展开图如图10所示。

误差分析如表2所示。

表2 鞍形板展开前后误差分析

由表2中展开误差可知，展开后面积和原始曲面面积基本吻合，体现了该方法的准确性，可作为一款专门用作船体三维曲面外板表达与展开的工具。

4 结论

本文系统的论证了小曲面三角形展开船体三维曲面的理论精度，针对船舶生产设计软件模拟手工放样展开误差较大的问题，提出网格曲面加密的数学方法来控制展开误差，使展开精度达到加工要求；在此基础上，开发出一套完整的曲面表达与展开系统，能够有效、直观、精确的生成船体三维曲面图与展开图，并能导入AutoCAD中形成通用的图文格式，并在生成的误差分析文件，输出展开图中的缝隙与重叠区域尺寸，为外板的无余量加工提供号料、补偿、检验的数据基础。