带有输入死区和输出受限的非线性系统自适应控制

曾 文,李志刚,高 闯，陈雪波

(辽宁科技大学 电子与信息工程学院， 辽宁 鞍山 114051)

智能控制领域的自适应控制已成为研究热点，取得了不少科研成果[1-6].通常采用神经网络或模糊控制设计控制器，文献[4]采用模糊控制逼近系统的未知非线性项，文献[5]采用神经网络及backstepping方法设计控制器.

死区广泛存在于实际控制系统，严重干扰了系统的稳定性，限制了系统的性能.文献[7]通过中值定理将死区分解为线性和非线性两个区域.文献[8]基于径向基函数神经网络(radial basis function，简称RBF)和中值定理，对带有死区的纯反馈系统提出控制策略.文献[9]利用模糊逻辑控制替代RBF神经网络，对一类非线性系统设计自适应控制器.文献[10]对一类非线性切换系统的跟踪控制进行了研究.

以上研究均没有对系统输出进行约束，不加约束的工业系统的产能不高，因此设计控制器时就要考虑约束条件的限制[11-14].文献[12]基于障碍李雅普诺夫函数(barrier Lyapunov function，简称BLF)设计状态控制约束器.文献[12]采用对称与非对称BLF，对一类带有不确定参数的非线性系统设计自适应控制器. 文献[13]采用时变BLF，对一类具有未知函数的非线性系统设计自适应控制器.文献[14]为限制永磁同步电机系统的电流设计控制器. 笔者拟对带有输入死区和输出受限的严格反馈系统，利用RBF神经网络设计控制器，且通过仿真示例验证控制器的有效性.

1 问题描述及预备知识

1.1 问题描述

考虑如下带有输入死区的非线性严格反馈系统

(1)

该文的控制目标是设计一个自适应神经网络控制器使系统的输出y跟踪给定的参考信号yd,同时保证闭环系统的所有信号均有界.为了实现控制目标，特提出如下假设：

假设1参考信号yd及其第i阶时间导数连续且有界,i=1,2,…,n.

1.2 障碍李雅普诺夫函数

对正定且连续可微的函数V(x),若x逼近含原点的邻域D的边界时，V(x)的值趋于无穷，则称V(x)为障碍型李雅普诺夫函数[11]，其函数形式如下

(2)

引理1∀kb∈R为正常数,z1∈R在区间|z1|<|kb|,存在不等式[2]

(3)

其中： |y|≤kc,kb=kc-yd.

1.3 径向基函数神经网络

径向基函数(RBF)神经网络已被证明在有界闭集ΩZ⊂Rq上可以任意精度逼近连续函数，故笔者使用RBF神经网络去逼近未知的非线性函数.RBF神经网络方程如下

f(Z)=W*S(Z)+δ(Z),∀Z∈ΩZ,

(4)

其中：f(z)为待逼近的未知非线性函数；δ(Z)为逼近误差，|δ(Z)|<ε；W*为最优权重向量.高斯型径向基函数表达式为

(5)

其中：υi(i=1,2,…,l)为最优中心点；l为神经元节点数，且l>1;r为高斯函数的宽度.

1.4 输入死区特性

为研究方便，定义

(6)

其中：v(t)∈R为理想控制律；gl，gr为死区特性的左、右斜率；bl，br为左、右截距，且bl<0,br>0.

假设2[14]若函数gr(v)和gl(v)充分光滑，且存在未知正常数kl0,kl1,kr0,kr1,则有

0

(7)

0

(8)

将输入死区特性进行如下变换

u=D(v)=KT(t)Φ(t)v+d(v),

(9)

其中

K(t)=[Kr(v(t)),Kl(v(t))]T,

(10)

Φ(t)=[φr(t),φl(t)]T,

(11)

(12)

其中：ξl(v)∈(v,bl),v

2 控制器设计

选取如下坐标变换

zi=xi-αi-1,i=1,2,…,n,

(13)

其中：αi-1为自适应神经网络虚拟控制律，α0=yd.

自适应神经网络虚拟控制律、自适应律及理想控制律分别为

(14)

(15)

(16)

定理1在假设1、假设2及引理1的条件下,对于一类带有输入死区的严格反馈非线性系统(1)，给定的初值满足|z1|<|kb|,设计一个自适应神经网络虚拟控制律如式(14)、自适应律如式(15)的控制器，则该控制器具有如下特性：(1)闭环系统的所有信号均半全局一致有界；(2)系统的输出满足约束条件；(3)系统的输出能跟踪期望信号.

证明步骤1 对z1求导得

(17)

选取李雅普诺夫函数为

(18)

对V1求导得

(19)

(20)

将式(15)代入式(19)得

(21)

根据自适应律式(15)，可得

(22)

步骤i对zi求导得

(23)

选取如下李雅普诺夫函数

(24)

对Vi求导得

(25)

同理，有如下不等式成立

(26)

根据式(14),(15),(26)整理式(25)，可得

(27)

步骤n对zn求导得

(28)

选取如下李雅普诺夫函数

(29)

其中:β0≤min{kl0,kr0}为未知正定常数.

对Vn求导得

(30)

同理，有如下不等式成立

(31)

根据式(9),(31)整理式(30)，可得

(32)

将式(16)代入式(32)，整理可得

(33)

由引理1可知

(34)

令

则有

(35)

将式(35)两边乘ect,可得

(36)

对式(36)两边求积分，可得

(37)

令

则有

(38)

经推导，可得

(39)

类似可得

(40)

3 仿真分析

该文使用如下严格反馈非线性系统进行仿真分析

(41)

其中：u为系统的控制输入；ξ1(t)和ξ2(t)为有界扰动，ξ1(t)=sint,ξ2(t)=0.5sint.

控制目标为：系统输出y能够跟踪给定的参考信号yd=0.5(sint+sin0.5t).

选取控制信号u的输入死区特性为

(42)

选取自适应神经网络虚拟控制律、理想控制率及自适应律分别为

(43)

(44)

(45)

图1～4分别为系统输出、跟踪误差、控制信号及自适应律的仿真结果.

图1 系统输出

图2 跟踪误差

图3 控制信号

图4 自适应律

4 结束语

笔者针对带有输入死区和输出受限的严格反馈形式的非线性系统，设计了一种自适应神经网络控制器.利用RBF神经网络逼近系统的未知函数，使用障碍李雅普诺夫函数降低约束条件的影响.仿真结果表明该控制器具有有效性.