一类覆冰悬索退化系统的中心判定

陈 莹，何 斌，李 静

(1.黄淮学院 数学与统计学院，河南 驻马店 463000；2. 北京工业大学 应用数理学院，北京 100124)

悬索结构是由柔性受拉索及其边缘构件所形成的承重结构，该类结构能够充分利用高强材料的抗拉性能完成跨度大、自重小的工程，并且具有受力合理、节约材料、布置灵活、施工方便、外形优美等特点，在土建、桥梁以及电力电讯等工程中应用广泛.但是如果悬索跨度增大，悬索的振动会更加显著，在一定气象条件下，悬索可能覆冰，从而引起大幅低频振动，造成不必要的损失，所以对覆冰悬索结构的研究引起许多科研人员的关注.文献[1]考虑了二自由度和三自由度覆冰悬索结构的动力学方程，采用多尺度法对覆冰悬索结构的无量纲方程进行摄动分析，得出3次平均方程，并运用Matlab软件编写程序，对平均方程进行了数值仿真，对覆冰悬索结构的设计和控制提供重要的理论指导.文献[2-4]也对覆冰悬索系统进行了相关研究，计算焦点量对研究微分方程的稳定性有重要作用，Lyapunov量复算法是研究非线性动力系统中心及焦点的重要方法.文献[5]得出计算平面多项式系统Lyapunov量的复算法和判断平面多项式系统中心的方法，探讨了Lyapunov量的若干性质，且借助符号计算软件分析了若干实例.在文献[5]的基础上，文献[6]研究具有一对纯虚特征根的两类一般平面多项式系统，通过两类平面多项式系统和标准形式的转换，得到两类系统对应Lyapunov量的复计算公式，给出了利用Maple数学软件计算Lyapunov量的计算流程、计算一览表及实例.Lyapunov量对平面多项式系统的极限环分岔研究也具有很重要的作用.近年来，文献[7-10]对极限环做了深入研究.文献[11-14]对具体的平面多项式系统的Lyapunov量和极限环进行一系列研究.论文主要利用Lyapunov量复算法讨论文献[1]中的二自由度覆冰悬索结构模型.二自由度覆冰悬索结构模型具有如下形式

(1)

(2)

论文对二自由度覆冰悬索结构模型的两种退化系统进行讨论.首先利用多尺度方法对其进行摄动分析，得出5次平均方程，然后按照Lyapunov量复算法得出原点为中心的结论.所得结果对利用Lyapunov量复算法解决其他问题提供了有意义的参考，也丰富了覆冰悬索结构的非线性研究.

1 两类二自由度覆冰悬索结构退化模型的分析研究

1.1 第一类覆冰悬索结构退化模型的分析研究

在(1)式中，令v3=0，得出退化系统如下

(3)

利用多尺度方法分析式(3)的平均方程.设其一致渐进解为

v2(t,ε)=x20(T0,T1,T2,…)+εx21(T0,T1,T2,…)+ε2x22(T0,T1,T2,…)+…，

(4)

其中：Ti=εit，i=0，1,2，….

微分算子为

(5)

(6)

把方程(4)～(6)代入(3)式，比较ε同次幂系数，得到以下微分方程：

ε0阶为

(7)

ε1阶为

(8)

ε2阶为

(9)

方程(7)的解用复数形式表示为

(10)

将(10)式代入(8)式，得

(11)

其中：cc表示对应的复共轭项.

令方程(11)的一阶长期项为零，得到

(12)

将(12)式取复共轭，得

(13)

将(12)式两边微分，得

(14)

得到方程(11)的特解为

(15)

将(15)式代入(9)式，得

(16)

其中：Q表示非长期项.

令(16)式的长期项为零，得

(17)

将函数A2(T1,T2)视为时间t的函数A2(εt,ε2t)，有

D0A2=εD1A2+ε2D2A2.

(18)

令

(19)

将 (12)，(17)，(19)式代入 (18) 式，并化简得

(20)

为了得到(3)式的平均方程，令

(21)

将(21)式代入(20)式，并分离实部与虚部，得到直角坐标系下系统(3)的平均方程为

(22a)

(22b)

(23a)

(23b)

根据文献[11，13]介绍的一般形式到基本形式的转换关系式，可得(22)式等价复形式为

(24)

其中：a1=0，有

采用Lyapunov量复算法算出L1=L2=L3=L4=…=0，从而判定出原点为中心.

1.2 第二类覆冰悬索结构退化模型的分析研究

在(2)式中令v2=0，可得出退化系统如下

(25)

与1.1中计算方法一样，在α1=0的条件下，得出(25)式的5次平均方程为

(26a)

(26b)

(27a)

(27b)

根据文献[11，13]介绍的一般形式到基本形式的转换关系式，可得(22)式等价复形式为

(28)

其中

采用Lyapunov量复算法算出L1=L2=L3=L4=…=0，从而判定出原点为中心.

2 结束语

论文具体分析了一类覆冰悬索结构的两种退化模型的中心判定问题，利用多尺度方法得到退化模型的5次平均方程，在此基础上，采用Lyapunov量复算法借助程序得到原点为系统中心的结论.所得结论丰富了覆冰悬索结构系统的非线性问题的研究.