浅谈中学生数学解题能力的培养

何金平

摘 要 在数学教学中，解题是一种最基本的活动形式，无论是数学概念的形成，数学命题的掌握，数学方法与技能的获得，还是学生能力的培养与发展，都是通过解题活动来完成的。同时解题也是评价学生认知水平的重要手段。波利亚说：“中学教学的首要任务就是加强解题训练”、“掌握数学就意味着善于解题”，本文就如何提高学生的解题能力从多角度进行了探讨：诸如培养数形结合的能力、培养方程的思维能力、培养学生的转化能力以及解题常用的思想方法等。文章通过大量实例深入浅出的进行了解题方法及提高能力的阐述。

关键词 解题能力 数学教学 思想方法

中图分类号：G633.6文献标识码：A

0引言

美国数学家哈尔莫斯提出：“数学真正的组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏。”

1如何提高学生数学解题能力

1.1培养“数形”结合的能力

“数”与“形”无处不在.任何事物，剥去它的质的方面，只剩下形状和大小两个属性，就交给了教学去研究了。“数形整合”是一种趋势，越学下去，“数”与“形”越密不可分。

1.2培养“方程”的思维能力

数学是研究事物的空间形式和数量关系的，最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是“方程”。比如等速运动中，路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系。

例1：已知直角三角形的面积为504，勾股之差为47，求弦长。

分析：设直角三角形的两直角边分别为和，则本题的求解目标是。

由已知列出方程组。

若解这个方程组分别求出、的值，再代入求值是比较复杂的。我们可以从整体分析，无需求出、的值，直接根据已知条件，求出弦长的值。

解：设直角三角形的两直角边分别为和。由已知得

所以

弦长为65。

1.3培养学生数学“转化”思维能力

解数学题最根本的途径是“化难为易，化繁为简，化未知为已知”，也就是把复杂繁难的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段，逐渐将它转变为一个大家熟知的简单的数学形式，然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决。

例2：如图，已知，，，是其中一内点，且，，，求的度数。

分析：由于直接计算比较困难，所以考虑把分割成特殊角，如通过作，取，取得，问题就转化到△PEB中，通过计算三边，判断是否为直角三角形。易得，再考虑的作用。

解：过作，并截取，连结、，

则又

∠BCE+∠PCB=∠PCA+∠PCB=90埃唷螧CE=∠PCA

∵CE=CP，BC=AC，△CBE≌△CAP

∴BE=PA=3

在直角三角形CPE中，

，且。

在△PBE中，

，，

。

“转化”的思想，是解题最重要的思维习惯。面对难题，面对没有见过的题，首先就要想到转化，也总是能够转化的。

2数学解题教学的反思对学生解题能力提高的帮助

2.1解题反思后进行重新整理

通过解题后对习题特征进行反思，用自己的语言或数学语言对习题进行重新概述，培养思维的深刻性，促進知识的正向迁移，提高解题能力。

案例3：解完“如图，是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证：”后，引导学生对题目本质特征进行反思，发现此题的圆可以不画出来，因为任意三角形都有外接圆，其处接圆的直径则是客观存在的。直径的位置不一定要画在如图的位置，只要有三角形外接圆的直径出现，就应该有上述结论。通过对题目本质的领悟，再用自己的语言对习题进行概述就得到了“任三角形的两边、第三边上的高，和它外接圆直径四个量中任知其中三个，就可以求得第四个”，“三角形外接圆的直径等于外接圆直径和等三边上的高的积” 通过反思，由于学生已形成了求任意三角形外接圆直径的一种特殊方法性的知识组块，促进了知识的正向迁移，培养了思维的敏捷性。

2.2就学生的“学“而言

学生在听课的过程中，确有一部分同学重“结论”胜于“过程”，重“程序”胜于“意义”，对老师精心设计的“知识生长过程”、“结论发生过程”袖手旁观，学生更重要的培养途径应该是解题实践，下面围绕解题的一般程序，讨论如何培养学生的解题能力。

2.2.1掌握常用的解题思想方法

数学题目繁多，内容变化万千，常令许多学生解题不知从何入手，在解题中，我们必须学会几种常用的解题方法。

例3：试比较与的大小。

解

当，即时，;

当，即时，;

当，即时，。

当数学问题的条件、结论不明确， 有多种情况或题意中含有不确定参数或图形时，往往需要分类讨论。

例4：比较下面两列算术结果大小（横线上选填“>”，“<”，“=”）。

（1）;

（2）;

（3）;

… …

分析：通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。

解：横线上填写的分别是>，>，>。

一般结论是：如果是两个实数，则有。

此题是“探索型”例题，虽重在探索，难在探索，但却有其规律可寻，解例4类题目，常常是先考虑特殊情况，由特殊情况的结果，猜想出一般情况的结果.这里用了归纳推理的方法和化归思想方法。

3结论

学生解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，教师在数学教学过程中应当注意结合自己班级的实际情况，并不断进行反思，从而有效地提高学生的数学解题能力。

参考文献

[1] 马忠村.数学思维理[M].南宁：广西教育出版社，1996.

[2] 张庆林.当代认知心理学在教学中的应用[M].重庆：西南师范大学出版，1995.